Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu, twierdzenie Nyquista–Shannona[a] – fundamentalne twierdzenie teorii informacji, telekomunikacji oraz cyfrowego przetwarzania sygnałów opisujące matematyczne podstawy procesów próbkowania sygnałów oraz ich rekonstrukcji:
Z sygnału dyskretnego złożonego z próbek danego sygnału ciągłego można wiernie odtworzyć sygnał
Jest podstawową zasadą pozwalającą przekształcać sygnał ciągły w czasie (często nazywany „sygnałem analogowym”) w sygnał dyskretny (często nazywany „sygnałem cyfrowym”). Ustanawia warunek dla częstotliwości próbkowania, która pozwala dyskretnej sekwencji próbek (cyfrowych) na przechwytywanie wszystkich informacji z sygnału ciągłego (analogowego) o skończonej szerokości pasma – częstotliwość Nyquista.
Teza
[edytuj | edytuj kod]Jeśli sygnał ciągły nie ma składowych widma o częstotliwości równej lub większej niż B, może on zostać jednoznacznie odtworzony z ciągu jego próbek tworzących sygnał dyskretny, o ile próbki te zostały pobrane z częstotliwością co najmniej 2B.
Warunki i uwagi
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/NonoverlappedSpectrum.png/400px-NonoverlappedSpectrum.png)
Próbkowanie (dyskretyzacja) sygnału ciągłego powoduje zwielokrotnienie jego oryginalnego widma w dziedzinie częstotliwości w ten sposób, że obok widma sygnału oryginalnego pojawiają się jego kopie przesunięte o wszystkie całkowite (dodatnie i ujemne) wielokrotności częstotliwości próbkowania, tworząc tzw. obrazy (pierwszy rysunek). Próbkowanie sygnału może wiązać się z jego zniekształceniem wskutek zjawiska aliasingu, czyli nakładania się widm (drugi rysunek). Aby możliwe było wierne odtworzenie sygnału ciągłego, spełnione powinny być przede wszystkim dwa warunki:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/AliasedSpectrum.png/400px-AliasedSpectrum.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/ReconstructFilter.png/400px-ReconstructFilter.png)
- Widmo sygnału oryginalnego oraz kopie tego widma, przesunięte o wszystkie całkowite wielokrotności częstotliwości próbkowania, nie nachodzą na siebie.
- W teorii oznacza to, że widmo sygnału ciągłego musi być ograniczone do pewnego przedziału częstotliwości, a poza nim mieć wartość zerową:
- gdzie to częstotliwość graniczna widma.
- Częstotliwość próbkowania jest odwrotnością okresu próbkowania, czyli odstępu w czasie między kolejnymi próbkami: Częstotliwość próbkowania powinna spełniać warunek
- W teorii oznacza to, że widmo sygnału ciągłego musi być ograniczone do pewnego przedziału częstotliwości, a poza nim mieć wartość zerową:
- Jest możliwość idealnego odfiltrowania sygnału oryginalnego z sygnału spróbkowanego to znaczy usunięcia zwielokrotnionych kopii bez zmiany wartości fazy i amplitudy (trzeci rysunek).
- Aby tego dokonać, potrzebny jest filtr o transmitancji:
- Aby tego dokonać, potrzebny jest filtr o transmitancji:
Jeśli opisane twierdzeniem Kotielnikowa–Shannona warunki nie są spełnione, pojawia się problem aliasingu, którego nie można usunąć bez znajomości oryginalnego sygnału ciągłego. W praktyce żaden w powyższych warunków nie jest spełniony:
- Sygnały o ściśle ograniczonym widmie mają nieskończony czas trwania. Takie sygnały nie występują w praktyce, zatem każdy realny sygnał, nawet poddany filtracji ograniczającej szerokość pasma, nie spełnia warunku Nyquista.
- Filtry mogą mieć transmitancję jedynie zbliżoną do transmitancji filtru idealnego potrzebnego do rekonstrukcji, stąd taka idealna rekonstrukcja sygnału ciągłego jest często (lecz nie zawsze) niemożliwa.
Dowód
[edytuj | edytuj kod]Dowód twierdzenia podany przez Claude’a Shannona wykorzystuje właściwość symetrii przekształcenia Fouriera i bazuje na rozwinięciu widma sygnału w zespolony szereg Fouriera.
Skoro widmo sygnału, posiada niezerowe wartości wyłącznie w przedziale zatem w tym przedziale można je zapisać jako sumę zespolonego szeregu Fouriera (uwaga: tutaj składniki sumowane są w dziedzinie częstotliwości):
Współczynniki tego szeregu, można wyznaczyć z całki
Zapisując jako odwrotną transformatę:
- łatwo zauważyć, że
Oznacza to, że jest całkowicie i jednoznacznie opisane przez ciąg próbek
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ znane też jako: twierdzenie Kotielnikowa-Shannona, twierdzenie Whittakera-Kotielnikowa-Shannona, twierdzenie Nyquista-Kotielnikowa-Shannona, twierdzenie Whittakera-Nyquista-Kotielnikowa-Shannona
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Przetwarzanie sygnałów cyfrowych. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-03)]. (materiały dydaktyczne AGH)