Dyskretna transformata Fouriera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Dyskretna transformata Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. Discrete Fourier Transform) jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

DFT przekształca skończony ciąg próbek sygnału (a_{0}, a_{1}, a_{2},\dots, a_{N-1}), \ a_{i}\in\mathbb{R} w ciąg harmonicznych (A_{0}, A_{1}, A_{2},\dots, A_{N-1}), \ A_{i}\in\mathbb{C} zgodnie ze wzorem:

A_{k}=\sum_{n=0}^{N-1}{a_{n}w_{N}^{-kn}}, \ 0 \leqslant k \leqslant N-1

w_{N}=e^{i\frac{2\pi}{N}}

gdzie:

i - jednostka urojona, k - numer harmonicznej, n - numer próbki sygnału, a_{n} - wartość próbki sygnału, N - liczba próbek.

Przekształcenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:

a_{n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{A_{k}w_{N}^{kn}}, \ 0 \leqslant n \leqslant N-1

Postać macierzowa DFT[edytuj | edytuj kod]

Wzory na przekształcenie proste, jak i odwrotne można zdefiniować w postaci macierzowej, odpowiednio w sposób następujący:

\mathbf{A}=\mathbf{Ma}

\mathbf{a}=\mathbf{WA}

Macierze a, A, M, W mają następującą postać:

\mathbf{a}=\left[\begin{matrix}
a_{0} \\
a_{1} \\
\vdots \\
a_{N-1}
\end{matrix}\right]       \mathbf{A}=\left[\begin{matrix}
A_{0} \\
A_{1} \\
\vdots \\
A_{N-1}
\end{matrix}\right]

\mathbf{M}=\left[\begin{matrix}
w_{N}^{-0\cdot 0} & w_{N}^{-1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 0} \\
w_{N}^{-0\cdot 1} & w_{N}^{-1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{-(N-1)\cdot 1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
w_{N}^{-0\cdot (N-1)} & w_{N}^{-1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{-(N-1)(N-1)} 
\end{matrix}\right]       \mathbf{W}=\frac{1}{N}\left[\begin{matrix}
w_{N}^{0\cdot 0} & w_{N}^{1\cdot 0} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 0} \\
w_{N}^{0\cdot 1} & w_{N}^{1\cdot 1} & \dots & w_{N}^{(N-1)\cdot 1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
w_{N}^{0\cdot (N-1)} & w_{N}^{1\cdot (N-1)} & \dots & w_{N}^{(N-1)(N-1)} 
\end{matrix}\right]

Macierze M i W mają wymiar NxN oraz spełniają warunek W=M^{-1} lub zapisując inaczej WM=I, gdzie I - macierz jednostkowa.

Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera w punkcie (m,n) definiujemy jako:

V(m,n)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}{U(x,y)w_{N}^{-ny}w_{M}^{-mx}}

Przekształcenie odwrotne:

U(x,y)=\frac{1}{N M}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}{V(m,n)w_{N}^{ny}w_{M}^{mx}}

Dwuwymiarowa transformata Fouriera wykorzystywana jest m.in. do cyfrowego przetwarzania obrazów.

Powiązanie z transformatą Z[edytuj | edytuj kod]

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

X(z)\, dla z=e^{j\omega}\,

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]