Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie pozwalające na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń, które mogą zajść w konsekwencji zajścia innych zdarzeń, takich jak doświadczenia wieloetapowe.

Twierdzenie

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech

\{H_{i}\colon i\in I\}\subset {\mathcal {F}}

będzie rodziną zdarzeń o dodatnim prawdopodobieństwie, które tworzą rozbicie przestrzeni $\Omega ,$ tj.

$H_{i}\cap H_{j}=\varnothing \quad (i,j\in I,i\neq j),$
$\bigcup _{i\in I}\,H_{i}=\Omega ,$
${\mathsf {P}}(H_{i})>0\quad (i\in I).$

Wówczas dla dowolnego zdarzenia $A\in {\mathcal {F}}$ zachodzi wzór

{\mathsf {P}}(A)=\sum _{i\in I}{\mathsf {P}}(A\mid H_{i}){\mathsf {P}}(H_{i}),

przy czym ${\mathsf {P}}(A\mid H_{i})$ oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia $H_{i}.$

Uwaga. Ze skończoności miary ${\mathsf {P}}$ wynika, że rodzina $\{H_{i}\colon i\in I\}$ składa się z co najwyżej przeliczalnie wielu zbiorów. Zdarzenia $H_{i}$ nazywane są czasem hipotezami^[1].

Dowód

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa, mamy

{\mathsf {P}}(A)={\mathsf {P}}\left(\bigcup _{i\in I}A\cap H_{i}\right)=\sum _{i\in I}{\mathsf {P}}(A\cap H_{i})=\sum _{i\in I}~{\mathsf {P}}(A\mid H_{i}){\mathsf {P}}(H_{i}).

Zastosowania

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie – zgodnie ze swą nazwą – pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

{\mathsf {P}}(A)={\mathsf {P}}(A|B_{1})\cdot {\mathsf {P}}(B_{1})+{\mathsf {P}}(A|B_{2})\cdot {\mathsf {P}}(B_{2})={\frac {99}{100}}\cdot {\frac {6}{10}}+{\frac {95}{100}}\cdot {\frac {4}{10}}={\frac {594+380}{1000}}={\frac {974}{1000}},

gdzie:

${\mathsf {P}}(B_{1})={\frac {6}{10}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
${\mathsf {P}}(B_{2})={\frac {4}{10}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
${\mathsf {P}}(A|B_{1})={\frac {99}{100}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
${\mathsf {P}}(A|B_{2})={\frac {95}{100}}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym

Teza

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie $B\in {\mathcal {F}}$ dla którego $P(B)>0.$ Zachodzi wtedy wzór^[2]:

{\mathsf {P}}(A|B)=\sum _{i\in I}{\mathsf {P}}(A|B\cap H_{i}){\mathsf {P}}(H_{i}|B).

Dowód

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę, otrzymując w ten sposób lewą, lub też zauważyć, że

{\mathsf {P}}(\cdot |B)={\mathsf {P}}_{B}(\cdot )

jest miarą probabilistyczną, a zatem jest więc sens mówić o ${\mathsf {P}}_{B}(A|C),$ tj. prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $C,$ gdy wiemy, że zaszło zdarzenie $B.$ Zachodzi równość^[2]: