Średnia arytmetyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Średnia arytmetyczna – iloraz sumy liczb i liczby tych liczb.

Dla liczb jest to wyrażenie

Przykłady zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej. Można ją również określić jako średnią potęgową rzędu 1.

Na przykład średnią czterech liczb, –5, –3, 0 i 12, jest

Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średnia ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6

W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średnim wzroście poborowych w danym roczniku.

Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.

Właściwości statystyczne średniej z próby[edytuj | edytuj kod]

Odchylenie standardowe średniej[edytuj | edytuj kod]

Jeśli uśredniamy nieskorelowanych[1] zmiennych o odchyleniach standardowych to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe średniej kwadratowej odchyleń tych zmiennych:

Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych

gdzie to współczynnik korelacji między nimi.

W ogólnym przypadku dla skorelowanych zmiennych:

gdzie to kowariancja i-tej i j-tej zmiennej.

Prawo wielkich liczb[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: prawo wielkich liczb.

Niech będzie zmienną losową o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej oraz niech będzie prostą próbą losową z tej zmiennej. Prawdopodobieństwo, że średnia będzie oszacowana precyzyjnie (znajdzie się nie dalej od prawdziwej wartości niż o dowolnie mały dodatni błąd ) dąży do 100% wraz ze wzrostem próby:

Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.

Centralne twierdzenie graniczne[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z -elementowej próby wraz ze wzrostem coraz lepiej odpowiada rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej i odchyleniu gdzie oraz to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji, z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych takich, że

gdzie:

  • to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym (o wartości oczekiwanej zero i wariancji równej jeden),
  • to dystrybuanta rozkładu normalnego

Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i estymatorach. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).

Właściwości średniej jako estymatora[edytuj | edytuj kod]

Średnia arytmetyczna z próby jest, niezależnie od rozkładu, estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to rozkład normalny, to średnia jest również estymatorem efektywnym.

Ograniczenia[edytuj | edytuj kod]

Średnia arytmetyczna jest podatna na skośność rozkładu i obserwacje odstające. W takiej sytuacji inne średnie, takie jak mediana, czy statystyki odpornościowe, np. średnia ucinana lub metody z regularyzacją, mogą dawać lepsze wyniki[2][3].

Nierówność Jensena oznacza, że funkcja średnich ma inną wartość niż średnia tej funkcji;

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Nie muszą być niezależne, wystarcza zerowa wartość współczynnika korelacji Pearsona.
  2. Publikacja w otwartym dostępie – możesz ją bezpłatnie przeczytać Jeffrey N. Rouder, Jason Dana, Clintin P. Davis-Stober, Estimation accuracy in the psychological sciences, „PLOS ONE”, 13 (11), 2018, e0207239, DOI10.1371/journal.pone.0207239, ISSN 1932-6203, PMID30475810, PMCIDPMC6261010 [dostęp 2019-04-05] (ang.).
  3. Andy P. Field, Rand R. Wilcox, Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers, „Behaviour Research and Therapy”, 98, 2017, s. 19–38, DOI10.1016/j.brat.2017.05.013 [dostęp 2019-04-05] (ang.).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001. ISBN 83-204-2684-7.
  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.