Średnia arytmetyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Średnia arytmetyczna liczb – iloraz sumy liczb i ilości tych liczb.

Dla liczb jest to wyrażenie

Przykłady zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej. Można ją również określić jako średnią potęgową rzędu 1.

Na przykład średnią liczb –5, –3, 0 i 12 jest

Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średnia ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6

W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średnim wzroście poborowych w danym roczniku.

Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.

Właściwości statystyczne średniej z próby[edytuj | edytuj kod]

Odchylenie standardowe średniej[edytuj | edytuj kod]

Jeśli uśredniamy nieskorelowanych[1] zmiennych o odchyleniach standardowych to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe średniej kwadratowej odchyleń tych zmiennych:

Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych :

gdzie to współczynnik korelacji między nimi.

W ogólnym przypadku dla skorelowanych zmiennych:

gdzie to kowariancja i-tej i j-tej zmiennej.

Prawo wielkich liczb[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: prawo wielkich liczb.

Niech będzie zmienną losową o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej oraz niech będzie prostą próbą losową z tej zmiennej. Wtedy dla dowolnie małej dodatniej liczby :

Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.

Centralne twierdzenie graniczne[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z -elementowej próby wraz ze wzrostem coraz lepiej odpowiada rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej i odchyleniu gdzie oraz to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji, z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych takich, że :

gdzie:

  • to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym (o wartości oczekiwanej zero i wariancji równej jeden),
  • to dystrybuanta rozkładu normalnego

Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i estymatorach. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).

Właściwości średniej jako estymatora[edytuj | edytuj kod]

Średnia arytmetyczna z próby jest, niezależnie od rozkładu, estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to rozkład normalny, to średnia jest również estymatorem efektywnym.

Ograniczenia[edytuj | edytuj kod]

Średnia arytmetyczna jest podatna na obserwacje odstające (czyli w tym przypadku wartości zmiennej, losowane spoza rozkładu, którego wartość oczekiwaną chcemy estymować, np. pomyłki w danych). W przypadku gdy jest ich dostatecznie dużo, inne średnie, takie jak mediana czy średnia ucinana, mogą dawać lepsze wyniki.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Nie muszą być niezależne, wystarcza zerowa wartość współczynnika korelacji Pearsona.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001. ISBN 83-204-2684-7.
  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.