Współczynniki greckie

W matematyce finansowej współczynniki greckie oznaczają wrażliwość rynku opcji lub innych instrumentów pochodnych. Greckie współczynniki mierzą zmianę wartości opcji w stosunku do zmiany czynników wpływających na wartość opcji.

Współczynniki greckie

Delta

Współczynnik delta oznacza przewidywany stopień zmiany ceny opcji w zależności od małej zmiany ceny instrumentu bazowego będącego przedmiotem opcji.

Współczynnik ten przyjmuje wartość dla opcji kupna z przedziału od 0 do 1, a dla opcji sprzedaży od –1 do 0. W przypadku instrumentu bazowego wartość delta wynosi 1.

Matematycznie, delta jest pochodną wartości opcji $V$ po cenie instrumentu bazowego $S.$

Wzór

$\Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}},$

gdzie:

$\Delta$ – zmiana ceny opcji,

$V$ – wartość opcji,

$S$ – cena instrumentu bazowego.

gamma

Jest miarą zmiany wartości współczynnika delta. Innymi słowy jest drugą pochodną wartości opcji $V$ po cenie instrumentu bazowego $S.$ ${}\ \Gamma ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}.$

theta

Mierzy wrażliwość wartości opcji na upływ czasu do wygaśnięcia (inaczej, pochodna wartości po czasie). ${}\ \Theta =-{\frac {\partial V}{\partial T}}.$

vega

Jest miarą zmiany wartości opcji na skutek zmiany zmienności instrumentu bazowego, $\nu ={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}.$ Vega nie jest nazwą litery alfabetu greckiego. Jako symbolu używa się litery $\nu$ (ny). W niektórych opracowaniach używa się kappa, ${}\ \kappa .$

rho

Mierzy wrażliwość zmiany wartości opcji na zmianę stopy wolnej od ryzyka. ${}\ \rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}.$

Black-Scholes

Na podstawie modelu Blacka-Scholesa współczynniki greckie są liczone w następujący sposób. $\phi$ (phi) jest funkcją gęstości rozkładu normalnego oraz $\Phi$ jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego. Należy zauważyć, że gamma i vega mają takie same wzory dla opcji kupna i sprzedaży.

Dla danych: ceny instrumentu bazowego, $S,$
ceny wykonania, $K,$
stopy wolnej od ryzyka, $r,$
rocznej stopa dywidendy dla indeksu, $q,$
czas do realizacji, $\tau =T-t,$
historyczna zmienność, $\sigma ...$

	Opcje kupna	Opcje sprzedaży
delta	$e^{-q\tau }\Phi (d_{1})$	$-e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})$
gamma	$e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}$
vega	$Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}$
theta	$-e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})$	$-e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})$
rho	$K\tau e^{-r\tau }\Phi (d_{2})$	$-K\tau e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})$
volga	$Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}=Vega{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}$
vanna	$-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {Vega}{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]$
charm	$-qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})+e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}$	$qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}$
color	$-e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]$
dual delta	$-e^{-r\tau }\Phi (d_{2})$	$e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})$
dual gamma	$e^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}$

gdzie

$d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r-q+\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}$

$d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-q-\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}$

$\phi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}$

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\,dy=\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\,dy$

Zobacz też

• delta neutralny
• model Blacka-Scholesa
• wzór Blacka-Scholesa

Linki zewnętrzne

• Gpw.pl Informacje na temat wyceny opcji.