Metoda Eulera-Maruyamy

Metoda Eulera-Maruyamy – w analizie stochastycznej, metoda numerycznego (przybliżonego) rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych, będąca rozwinięciem klasycznej metody Eulera z teorii równwań różniczkowych zwyczajnych. Jest jedną z niewielu metod, które dają się rozszerzyć z teorii deterministycznej do stochastycznej teorii równań różniczkowych.

Metoda

Niech dane będzie stochastyczne równanie różniczkowe postaci

$\mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t},$

z warunkiem początkowym X₀ = x₀, gdzie W_t oznacza proces Wienera. Poszukiwane jest rozwiązanie tego równania na przedziale [0, T]. Przybliżeniem Eulera–Maruyamy (prawdziwego) rozwiązania X rzeczonego równania jest łańcuch Markowa Y zdefiniowany jak następuje:

• przedział $[T_{\rm {inint}},T_{\rm {end}}]$ zapisywany jest w postaci N przedziałów o długości $\Delta t>0$:

$T_{\rm {inint}}=\tau _{0}<\tau _{1}<\cdots <\tau _{N}=T_{\rm {end}}$,

przy czym $\Delta t=(T_{\rm {end}}-T_{\rm {inint}})/N;$

• Y₀ = x₀;
• Zmienna Y_n jest dla 1 ≤ n ≤ N zdefiniowana rekursywnie wzorem

$\,Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n})\,\Delta t+b(Y_{n})\,\Delta W_{n},$

gdzie

$\Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}.$

Z niezależności przyrostów procesu Wienera wynika, że zmienne losowe ΔW_n są niezależne oraz mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej zero oraz wariancji $\Delta t$.

Symulacja komputerowa przybliżeń

Niech dane będzie stochastyczne równanie rózniczkowe

$\mathrm {d} Y_{t}=\theta \cdot (\mu -Y_{t})\,{\mathrm {d} }t+\sigma \,{\mathrm {d} }W_{t}$

$Y_{0}=0.$

którego rozwiązaniem jest proces Ornsteina-Uhlenbecka

Można posłużyć się pakietem numpy środowiska Python by symulować ${\mathrm {d} }W_{t}$

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

num_sims = 5 ### liczba symulacji

t_init = 3
t_end  = 7
N      = 1000 ### liczba punktów na które dzielimy przedział
dt     = float(t_end - t_init) / N 
y_init = 0

c_theta = 0.7
c_mu    = 1.5
c_sigma = 0.06

def mu(y, t): 
    """Implement the Ornstein–Uhlenbeck mu.""" ## = \theta (\mu-Y_t)
    return c_theta * (c_mu - y)

def sigma(y, t): 
    """Implement the Ornstein–Uhlenbeck sigma.""" ## = \sigma
    return c_sigma
    
def dW(delta_t): 
    """Sample a random number at each call."""
    return np.random.normal(loc = 0.0, scale = np.sqrt(delta_t))

ts    = np.arange(t_init, t_end, dt)
ys    = np.zeros(N)

ys[0] = y_init

for _ in range(num_sims):
    for i in range(1, ts.size):
        t = (i-1) * dt
        y = ys[i-1]
        ys[i] = y + mu(y, t) * dt + sigma(y, t) * dW(dt)
    plt.plot(ts, ys)

plt.show()

Bibliografia

• P. Brandimarte, Numerical Methods in Finance: A Matlab Introduction, Wiley, 2002, ISBN 0-471-39686-9.
• P. Jackel, Monte Carlo Methods in Finance, Wiley, 2002, ISBN 0-471-49741-X.