Wariancja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wariancja – miara zmienności zmiennej losowej będąca wartością oczekiwaną kwadratu różnicy wartości zmiennej losowej X i jej wartości oczekiwanej[1]. W statystyce opisowej obliczana jest jako średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od średniej[2].

Wariancja zmiennej losowej oznaczana jako lub zdefiniowana jest wzorem[1]:

gdzie:

jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,
jest wartością oczekiwaną zmiennej

Innym, często prostszym, sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

Jeżeli ponadto oraz jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

Statystyka opisowa[edytuj | edytuj kod]

Jako jedna z najpopularniejszych miar w statystyce opisowej służąca do opisu danego kompletnego zbioru danych[3], wariancja zdefiniowana jest dla zbioru obserwacji z cechą wzorem[2]:

gdzie oznacza średnią wartość cechy, a liczebność zbioru.

Wyrażona jest w jednostkach miary badanej cechy podniesionych do kwadratu[4].

Dane pogrupowane[edytuj | edytuj kod]

W przypadku obliczania wariancji dla danych pogrupowanych w postaci szereg rozdzielczego punktowego, wykorzystuje się wzory[5]:

gdzie oznacza liczbę klas szeregu punktowego, – liczebność i-tej klasy, a – liczebność całej zbiorowości (odpowiednik we wzorze powyżej).

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego za wartość przyjmuje się środki poszczególnych przedziałów [6]:

Ze względu na przyjęcie jako reprezentacji przedziałów wartości środkowych wariancja liczona według powyższego wzoru jest przybliżeniem wariancji dla danych kompletnych[7].

Estymatory[edytuj | edytuj kod]

Wariancja próby losowej o wartościach gdzie jest następująca:

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

jest zgodnym, lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną w populacji, wówczas estymator

jest już nieobciążony i zgodny.

Własności wariancji[edytuj | edytuj kod]

Dla zmiennych losowych i dowolnych stałych zachodzą następujące własności:

1.

Dowód. Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:

2.

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa jest dodatnio określona, mamy:

3.

Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:

4.

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że dla stałej i z liniowości:

5. w ogólnym przypadku; (gdzie to kowariancja)

Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:

Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:

Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne i są niezależne, zachodzi:

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Wariancja, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-03-25].
  2. a b Mirosław Krzysztofiak, Andrzej Luszniewicz, Statystyka, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, 1976, s. 131.
  3. Ewa Wasilewska, Statystyka opisowa od podstaw. Podręcznik z zadaniami, Warszawa: Wydawnictwo SGGW, 2009, s. 165–166, ISBN 978-83-7583-172-6.
  4. Ewa Wasilewska, Statystyka opisowa od podstaw. Podręcznik z zadaniami, Warszawa: Wydawnictwo SGGW, 2009, s. 163, ISBN 978-83-7583-172-6.
  5. Ewa Wasilewska, Statystyka opisowa od podstaw. Podręcznik z zadaniami, Warszawa: Wydawnictwo SGGW, 2009, s. 233–234, ISBN 978-83-7583-172-6.
  6. Ewa Wasilewska, Statystyka opisowa od podstaw. Podręcznik z zadaniami, Warszawa: Wydawnictwo SGGW, 2009, s. 239, ISBN 978-83-7583-172-6.
  7. Ewa Wasilewska, Statystyka opisowa od podstaw. Podręcznik z zadaniami, Warszawa: Wydawnictwo SGGW, 2009, s. 241, ISBN 978-83-7583-172-6.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 84. ISBN 83-89716-01-1.