Wariancja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, szukaj

Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Wariancja zmiennej losowej  X , oznaczana jako  \operatorname{Var}[X] lub  D^2 (X) , zdefiniowana jest wzorem:

\operatorname{Var}[X]=E[(X-\mu)^2],

gdzie:

E[\dots ] jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,
\mu\; jest wartością oczekiwaną zmiennej X\;.

Innym, często prostszym sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

D^2(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\;.

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.


Jeżeli ponadto  \mathbb EX^2 \leq \infty oraz \mathcal G jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

Var(X|\mathcal G) := \mathbb E\Big (\big ( X - \mathcal E(X|\mathcal G)\big )^2\Big | \ \mathcal G \Big )

Spis treści

[edytuj] Estymatory

Wariancję dla szeregu szczegółowego wyznacza się ze wzoru:

 s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( x_i - m )^2

a dla szeregu rozdzielczego:

 s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i \cdot ( x_i - m )^2

Wariancja próby losowej o wartościach x_i, gdzie i=1,2,3,..., jest następująca:

\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n
 \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2.

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2

jest zgodnym lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2.

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną \mu w populacji, wówczas estymator

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \mu \right) ^ 2

jest już nieobciążony i zgodny.

[edytuj] Własności wariancji

Dla zmiennych losowych X , Y i dowolnych stałych a, b, c zachodzą następujące własności:

D^2(c) = 0\;
D^2(X) \geq 0\;
D^2(a \cdot X) = a^2 \cdot D^2(X)
D^2(X+b) = D^2(X)\;
D^2(X \pm Y) = D^2(X) + D^2(Y), gdy  X i  Y nieskorelowane
D^2(X \pm Y) = D^2(X) + D^2(Y) \pm 2\operatorname{Cov}(X,Y) w ogólnym przypadku; (gdzie  \operatorname{Cov}(X,Y) to kowariancja)

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).

[edytuj] Zobacz też

Wikisłownik
Zobacz hasło wariancja w Wikisłowniku

[edytuj] Bibliografia

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8. 
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 84. ISBN 83-89716-01-1. 
Osobiste
Przestrzenie nazw

Warianty
Działania
Nawigacja
Dla czytelników
Dla wikipedystów
Narzędzia
Drukuj lub eksportuj
W innych językach