Rozkład normalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Rozkład normalny
Gęstość prawdopodobieństwa
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego
Czerwona linia odpowiada standardowemu rozkładowi normalnemu.
Dystrybuanta
Dystrybuanta rozkładu normalnego
Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry \mu położenie (liczba rzeczywista)
\sigma^2>0 podniesiona do kwadratu skala (liczba rzeczywista)
Nośnik x \in\mathbb{R}\!
Gęstość prawdopodobieństwa \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
Dystrybuanta \frac12 \left(1+\mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!
Wartość oczekiwana (średnia) \mu\;
Mediana \mu_{1/2}\;  lub  Me
Moda \mu\;
Wariancja \sigma^2\;
Współczynnik skośności 0\;
Kurtoza 0\;
Entropia \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
Funkcja generująca momenty M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Funkcja charakterystyczna \chi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
Odkrywca Abraham de Moivre (1733)[1]

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa (w literaturze francuskiej – rozkładem Gaussa-Laplace'a) – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.

Przyczyną jego znaczenia jest częstość występowania w naturze. Jeśli jakaś wielkość jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu każdego z tych czynników, jej rozkład będzie zbliżony do normalnego[2], stąd można go bardzo często zaobserwować w danych[3]. Ponadto rozkład normalny ma interesujące właściwości matematyczne, dzięki którym oparte na nim metody statystyczne są proste obliczeniowo[4].

Definicja rozkładu normalnego[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele równoważnych sposobów zdefiniowania rozkładu normalnego. Należą do nich: funkcja gęstości, dystrybuanta, momenty, kumulanty, funkcja charakterystyczna, funkcja tworząca momenty i funkcja tworząca kumulanty. Wszystkie kumulanty rozkładu normalnego wynoszą 0 oprócz pierwszych dwóch.

Funkcja gęstości[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: funkcja wykładniczapi.

Funkcja gęstości rozkładu normalnego ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ (równoważnie: wariancją σ2) jest przykładem funkcji Gaussa. Dana jest ona wzorem:

\phi_{\mu, \sigma}(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,\exp\left(\frac {-(x-\mu )^2} {2\sigma^2}\right)

Fakt, iż zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną μ i wariancją σ2 zapisuje się często X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2). Jeśli μ = 0 i σ = 1, to rozkład ten nazywa się standardowym rozkładem normalnym, jego funkcja gęstości opisana jest wzorem:

\phi_{0, 1}(x) = \phi(x) = {1 \over \sqrt{2\pi} }\,\exp\left(-{x^2 \over 2}\right)
Ilustracja reguły trzech sigm

Obrazek u góry artykułu przedstawia wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego dla μ = 0 (w jednym przypadku μ = -2) i kilku różnych wartości σ. Im większe σ tym bardziej płaski jest wykres.

We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu. Około 68,3% pola pod wykresem krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95,5% w odległości dwóch odchyleń standardowych i około 99,7% w odległości trzech (reguła trzech sigm). Punkt przegięcia krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej.

Dystrybuanta[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: dystrybuanta.

Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna X ma wartości mniejsze bądź równe x i w kategoriach funkcji gęstości wyrażana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:

\ P(X \le x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1} {\sigma\sqrt{2\pi} } e^{-(u-\mu)^2 \over (2\sigma^2)}\,du

Całki powyższej nie da się obliczyć dokładnie metodą analityczną. W konkretnych zagadnieniach do obliczenia wartości dystrybuanty stosuje się zatem tablice statystyczne (bądź też odpowiednie kalkulatory czy oprogramowanie komputerów). Tablice zawierają dane dla dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczanej jako Φ i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach μ = 0 i σ = 1:

\Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^z {1 \over \sqrt{2\pi} }\,e^{-{x^2 \over 2}}\,dx

Związek dystrybuanty Φ i dystrybuanty rozkładu normalnego X o dowolnie zadanych parametrach μ i σ otrzymuje się za pomocą standaryzowania rozkładu (zob. też poniżej).

P(X \le x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego może być wyrażona poprzez funkcję specjalną (nieelementarną, przestępną), tzw. funkcję błędu jako:

\Phi(z) = \frac{1}{2} \left(1+\operatorname{erf}\,\frac{z}{\sqrt{2}}\right)

Funkcje tworzące[edytuj | edytuj kod]

Funkcja charakterystyczna[edytuj | edytuj kod]

Funkcją charakterystyczną rozkładu normalnego jest

\varphi(t) = \exp\left(i\mu t-{\sigma^2 t^2 \over 2}\right).

W przypadku standardowego rozkładu normalnego ma ona postać:

\varphi(t) = \exp\left(-{t^2 \over 2}\right).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Jeśli  X \sim N(\mu, \sigma^2) \, oraz  a, b \,liczbami rzeczywistymi, to  aX + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2) . \,
  2. Jeśli  X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) \, i  X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) \, oraz zmienne  X_1 , X_2 \, są niezależne, to  X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2 , \sigma_1^2 + \sigma_2^2) . \,
  3. Jeśli  X_1, \dots , X_n niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna  X_1^2 + \cdots + X_n^2 ma rozkład chi-kwadrat z  n \, stopniami swobody.

Parametry rozkładu[edytuj | edytuj kod]

Standaryzowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym[edytuj | edytuj kod]

Konsekwencją własności 1 jest możliwość przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego.

Jeśli X ma rozkład normalny ze średnią μ i wariancją σ2, wtedy:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym N(0, 1). Ważną konsekwencją jest postać dystrybuanty:

P(X \le x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2} \left(1+\mbox{erf}\,\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right)

Odwrotnie, jeśli Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, to:

X=\sigma Z+\mu \,

jest zmienną o rozkładzie normalnym ze średnią μ i wariancją σ2.

Standardowy rozkład normalny został stablicowany i inne rozkłady normalne są prostymi transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób możemy używać tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego do wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu normalnego o dowolnych parametrach.

Generowanie wartości losowych o rozkładzie normalnym[edytuj | edytuj kod]

W symulacjach komputerowych zdarza się, że potrzebujemy wygenerować wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Istnieje kilka metod, najprostszą z nich jest odwrócenie dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. Są jednak metody bardziej wydajne, jedną z nich jest transformacja Boxa-Mullera, w której dwie zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym (prostym do wygenerowania — patrz generator liczb losowych) są transformowane na zmienne o rozkładzie normalnym.

Transformacja Boxa-Mullera jest konsekwencją własności 3 i faktu, że rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody jest rozkładem wykładniczym (łatwym do wygenerowania).

Centralne twierdzenie graniczne[edytuj | edytuj kod]

Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że, przy pewnych założeniach, rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to tak zwane centralne twierdzenie graniczne.

W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów.

  • Rozkład dwumianowy z parametrami  (n, p) \, jest w przybliżeniu normalny dla dużych  n \, i  p \, nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą  \mu = np \, i odchylenie standardowe  \sigma = \sqrt{ np (1-p) } .
  • Rozkład Poissona z parametrem  \lambda \, jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości  \lambda \,. Przybliżony rozkład normalny ma średnią  \mu = \lambda \, i odchylenie standardowe  \sigma = \sqrt{\lambda} .

Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów.

Nieskończona podzielność[edytuj | edytuj kod]

Rozkład normalny należy do rozkładów mających własność nieskończonej podzielności.

Występowanie[edytuj | edytuj kod]

Rozkład normalny (lub wielowymiarowy rozkład normalny) jest często stosowanym założeniem, w praktyce jednak nigdy nie jest ściśle realizowany. Rozkład normalny ma bowiem niezerową gęstość prawdopodobieństwa dla dowolnej wartości zmiennej losowej, podczas gdy w rzeczywistości zmienne są zawsze ograniczone, a często nieujemne.

Mimo to rzeczywisty rozkład jest często bardzo zbliżony do normalnego, stąd zwykle zakłada się, że zmienna ma rozkład normalny. Nie należy jednak robić tego bez sprawdzenia jak wielkie są rozbieżności. Rozkłady dalekie od normalnego (np. z elementami odstającymi) mogą sprawić, że wyniki metod statystycznych będą mylnie interpretowane.

Przykładem są tu metody regresji liniowej oraz korelacji Pearsona, które, choć zdefiniowane dla dowolnych rozkładów, mają sensowną interpretację tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego wektora próbki. Jeśli w próbce występują elementy odstające, co jest szczególnym przypadkiem rozkładu dalekiego od normalnego, korelacja może przyjąć dowolną wartość między −1 a +1, bez względu na rzeczywistą zależność między zmiennymi losowymi. Także regresja będzie dawała błędne rezultaty.

Inteligencja[edytuj | edytuj kod]

Inteligencja mierzona testami inteligencji uważana jest za zmienną o rozkładzie normalnym. W praktyce testy dają wyniki skwantowane, a nie ciągłe. W dodatku ich wyniki są ograniczone do pewnego przedziału. Przybliżenie jest jednak wystarczające.

Kontrowersyjny pogląd o nieadekwatności tego modelu został zaprezentowany w książce The Bell Curve.

Wzrost[edytuj | edytuj kod]

Podobnie wzrost człowieka może być uznany w przybliżeniu za zmienną o rozkładzie normalnym. Musimy wtedy oczywiście założyć, że wartość oczekiwana rozkładu wynosi np. 170 cm, a odchylenie standardowe jest wystarczająco małe, aby przypadek "ludzi o ujemnym wzroście" miał znikomo małe prawdopodobieństwo.

Natężenie źródła światła[edytuj | edytuj kod]

Natężenie światła z pojedynczego źródła zmienia się w czasie i zazwyczaj zakłada się, że ma rozkład normalny. Jednak zgodnie z mechaniką kwantową światło jest strumieniem fotonów. Zwykłe źródło światła, świecące dzięki termicznej emisji, powinno świecić w krótkich przedziałach czasu zgodnie z rozkładem Poissona. W dłuższym przedziale czasowym (dłuższym niż czas koherencji) dodawanie się do siebie niezależnych zmiennych prowadzi w przybliżeniu do rozkładu normalnego.

Błędy pomiaru[edytuj | edytuj kod]

Wielokrotne powtarzanie tego samego pomiaru daje wyniki rozrzucone wokół określonej wartości. Jeśli wyeliminujemy wszystkie większe przyczyny błędów, zakłada się, że pozostałe mniejsze błędy muszą być rezultatem dodawania się do siebie dużej liczby niezależnych czynników, co daje w efekcie rozkład normalny. Odchylenia od rozkładu normalnego rozumiane są jako wskazówka, że zostały pominięte błędy systematyczne. To stwierdzenie jest centralnym założeniem teorii błędów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Abraham de Moivre, "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b)n in Seriem expansi" (wydrukowany 12 listopada 1733 w Londynie)
  2. centralne twierdzenie graniczne
  3. Ściślej: można zaobserwować rozkłady bardzo zbliżone do rozkładu normalnego. Rozkład normalny zakłada niezerowe prawdopodobieństwo dla każdej możliwej liczby rzeczywistej. Jednak w rzeczywistości wszelkie zmienne są ograniczone, np. nie ma ludzi o ujemnym wzroście, ani o wzroście kilometra. Rozkłady spotykane w praktyce są jednak tak bardzo zbliżone do rozkładu normalnego, że różnica ta nie ma znaczenia.
  4. Te właściwości to np.: Suma i różnica dwóch zmiennych o rozkładach normalnych ma rozkład normalny. Logarytm z gęstości rozkładu normalnego to funkcja kwadratowa, dzięki czemu metoda najmniejszych kwadratów stosowana w regresji liniowej dla rozkładu normalnego błędów jest metodą największej wiarygodności.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Wawrzynek: Metody opisu i wnioskowania statystycznego. Wrocław: Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, 2007, s. 62. ISBN 978-83-7011-859-4.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]