Wartość oczekiwana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Zmienna dyskretna[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.

Jeżeli dyskretna zmienna losowa X przyjmuje wartości x_1, x_2, \dots, x_n z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio p_1, p_2, \dots, p_n, to wartość oczekiwana \mathbb EX zmiennej losowej X wyraża się wzorem

\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i.

Jeżeli zmienna X przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje \infty w miejsce n\, (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Zmienna ciągła[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej (\Omega, \mathcal F, \mathbb P), to wartość oczekiwaną zmiennej losowej X definiuje się jako całkę

\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P

o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:

\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Jeśli X jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(x), to jej wartość oczekiwana wynosi

\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~x f(x) dx.

Jeżeli Y = \varphi(X) jest funkcją mierzalną, to

\mathbb EY = \mathbb E\left(\varphi(X)\right) = \int\limits_\mathbb R~\varphi(x) f(x) dx.

Jeśli istnieją \mathbb EX oraz \mathbb EY, to:

W mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator \hat{A} dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową \psi wynosi \langle\hat{A}\rangle _{\psi} = \int \psi^* (x) \hat{A} (x, \partial / \partial x ) \psi (x) dx , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać: \langle\hat{A}\rangle _{\psi}  = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle.

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej \hat{A}, czyli wariancja \hat{A}, wynosi (\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.