Średnia logarytmiczna różnica temperatur

Średnia logarytmiczna różnica temperatur (ang. akr. LMTD) jest wielkością używaną do określania siły napędowej wymiany ciepła w urządzeniach przepływowych, w szczególności w wymiennikach ciepła. LMTD jest średnią logarytmiczną różnic temperatur gorącego i zimnego strumienia na wlocie i wylocie wymiennika. Im wyższa wartość LMTD, tym intensywniejsza wymiana ciepła między strumieniami.

Definicja

Zakładając, że typowy wymiennik ciepła ma po dwa króćce po obydwu stronach swojej obudowy (po stronie A i po stronie B), którymi strumienie (gorący i zimny) wchodzą lub wychodzą z wymiennika, LMTD definiowana jako logarytmiczna średnia zgodnie z poniższym:

$LMTD={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}},$

gdzie:

$\Delta T_{A}$ – różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie A,

$\Delta T_{B}$ – różnica temperatur pomiędzy strumieniami (gorącym i zimnym) po stronie B.

Za pomocą tej definicji LMTD może być wykorzystana do obliczenia strumienia ciepła przekazywanego w wymienniku:

$Q=U\times Ar\times LMTD,$

gdzie:

$Q$ – strumień ciepła (w watach),

$U$ – współczynnikiem przenikania ciepła,

$Ar$ – powierzchnia wymiany ciepła.

Powyższe zależności słuszne są zarówno dla przepływu współbieżnego w którym strumienie wchodzą z tej samej strony do wymiennika, jak i dla przepływu przeciwbieżnego w którym strumienie wchodzą do wymiennika z naprzeciwległych stron jego obudowy.

W przypadku przepływu krzyżowego powyższa zależność między strumieniem ciepła a LMTD jest słuszna po uwzględnieniu współczynnika korekcyjnego. Uwzględnienie współczynnika korekcyjnego niezbędne jest również w przypadku bardziej skomplikowanych geometrii, jak np. przy wymienniku płaszczowo-rurowym z przegrodami.

Wyprowadzenie wzoru

Zakładając, że transport ciepła odbywa się w wymienniku wzdłuż osi $z,$ od współrzędnej $A$ do $B,$ pomiędzy dwoma płynami oznaczonymi odpowiednio 1 i 2, których temperatury wzdłuż osi $z$ wynoszą $T_{1}(z)$ i $T_{2}(z).$

Ciepło wymienione lokalnie w $z$ jest proporcjonalne do różnicy temperatur:

$q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))/D=U(\Delta \;T(z))/D,$

gdzie $D$ jest długością krawędzi (w przekroju $z$) na której następuje wymiana ciepła między dwoma płynami

Przepływ ciepła między płynami powodowany jest gradientem temperatury zgodnie z prawem Fouriera:

${\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z),$

${\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z).$

Sumując powyższe, otrzymamy:

${\frac {\mathrm {d} \,\Delta T}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,(T_{2}-T_{1})}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}-{\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=K\Delta T(z)$

gdzie $K=k_{a}+k_{b}.$

Całkowity strumień wymienianego ciepła wyznaczyć można, całkując ciepło wymieniane lokalnie $q$ w przedziale od $A$ do $B{:}$

$Q=\int _{A}^{B}q(z)dz={\frac {U}{D}}\times \int _{A}^{B}\Delta T(z)dz={\frac {U}{D}}\times \int _{A}^{B}\Delta T\,dz.$

Uwzględniając, że powierzchnia wymiany ciepła wymiennika $Ar$ równa jest długości rury $A-B$ pomnożonej przez długość krawędzi przekroju $D{:}$

$Q={\frac {UAr}{(B-A)}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\int _{A}^{B}\,dz}}.$

Podmieniając w obydwu całkach zmienne $z$ na $\Delta T,$ otrzymujemy:

$Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}}.$

Po podstawieniu wyprowadzonej wcześniej zależności na $\Delta T$ otrzymamy:

$Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}.$

Całki w tej postaci da się łatwo rozwiązać, otrzymując znany nam wzór z definicji LMTD:

$Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln[\Delta T(B)/\Delta T(A)]}}.$

Założenia i ograniczenia

• Zakłada się, że szybkość (tempo) zmian temperatury obydwu płynów jest proporcjonalne do różnicy ich temperatur. Założenie to jest słuszne dla płynów o stałym cieple właściwym, co z dobrym przybliżeniem ma miejsce w przypadku zmiany temperatury płynów w relatywnie małym zakresie. Jednakże im większe zmiany ciepła właściwego, tym podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się coraz mniej dokładne.

• Zakłada się również, że współczynnik przenikania ciepła $(U)$ jest stały, nie jest zaś funkcją temperatury. W przeciwnym wypadku podejście do problemu z wykorzystaniem LMTD staje się mniej dokładne.

• Przykładami, gdzie podejście LMTD nie jest odpowiednie mogą być skraplacze i reboilery z uwagi na ciepło utajone związane z zachodzącą przemianą fazową.

• LMTD jest z założenia koncepcją stanu ustalonego i nie może być używana w analizach dynamicznych. W szczególności, gdyby zastosować LMTD do stanu nieustalonego w którym przez krótki czas różniczki temperatury po dwóch stronach wymiennika ciepła posiadały by przeciwne znaki, argument logarytmu byłby ujemny co jest sprzeczne z definicją funkcji logarytmicznej.

Bibliografia

• Kay J.M., Nedderman R.M., Fluid Mechanics and Transfer Processes, Cambridge University Press, 1985.