1 + 1 + 1 + 1 + …

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

1 + 1 + 1 + 1 + … – w matematyce, zapisywane również jako \sum_{n=1}^{\infin} n^0, to szereg rozbieżny, czyli nie ma on skończonej sumy według podstawowej definicji. Jego sumy cząstkowe rosną do nieskończoności.

Jeśli taki szereg pojawia się podczas analizy zjawisk fizycznych, może on być czasami interpretowany przez zastosowanie regularyzacji funkcją dzeta, tj. w tym przypadku określenie wartości funkcji dzeta Riemanna w punkcie s = 0

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}\,

Oba wyrażenia podane wyżej nie są „wyliczalne” dla wartości zero, dlatego też stosuje się przedłużenie analityczne funkcji dzeta Riemanna

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)

Dzięki niemu (wiedząc, że \scriptstyle \Gamma(1) = 1) otrzymujemy


\zeta(0) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \zeta(1-s) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \left( \frac{\pi s}{2} - \frac{\pi^3 s^3}{48} + ... \right)\ \left( -\frac{1}{s} + ... \right) = -\frac{1}{2}

gdzie rozwinięcie w szereg potęgowy ζ(s) w otoczeniu s = 1 zachodzi ponieważ ζ(s) ma w nim pojedynczy biegun z residuum równym 1. W tym sensie 1 + 1 + 1 + 1 + … = ζ(0) = −12.[1]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Emilio Elizalde: Cosmology: Techniques and Observations (ang.). arXiv, 2004-09-20.