Funkcja dzeta Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – jedna z funkcji specjalnych określona wzorem:

{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z

Szereg ten jest zbieżny dla takich z, których część rzeczywista jest większa od 1.

Za pomocą metod analizy matematycznej funkcję tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza z=1. Przyjmuje ona wtedy postać:

{\zeta}( z ) = \frac{1}{1-2^{1-z}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k = 0}^{n}  (-1)^k \binom{n}{k} (k+1)^{-z}

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla z o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

{\zeta}( z ) = 2^z \pi^{z-1} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )

gdzie \Gamma to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζ[edytuj | edytuj kod]

Dziedzina liczb rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]

Zeta plot.gif

Dziedzina liczb zespolonych[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Complex zeta.jpg

Ważne wzory związane z funkcją ζ[edytuj | edytuj kod]

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla Re(z)>1):

{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}

gdzie p oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

{\zeta}( 2n ) = \left(-1\right)^{n+1} \frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}

dla każdej liczby parzystej dodatniej 2n, gdzie B_k to k-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych -n:

{\zeta}( -n ) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

\ln \zeta(z)=z\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^z-1)}dx

gdzie \pi(x) to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od x.

\zeta^2(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^z}

gdzie \tau(n) to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby n.

Niektóre wartości[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449341...
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1{,}0823232...
\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \ldots = \frac{\pi^6}{945} \approx 1{,}0173431...
\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \ldots = \frac{\pi^8}{9450} \approx 1{,}0040774...

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]