Residuum funkcji holomorficznej

Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) funkcji $f$ w punkcie $z_{0}$ – pierwszy współczynnik części osobliwej rozwinięcia w szereg Laurenta danej funkcji $f$ holomorficznej w pewnym pierścieniu otaczającym punkt $z_{0}.$

Innymi słowy, jeśli $f$ jest funkcją holomorficzną w pewnym pierścieniu otaczającym $z_{0},$ to jej residuum w punkcie $z_{0}$ nazywa się współczynnik $a_{-1}$ w jej rozwinięciu $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ w szereg Laurenta w punkcie $z_{0}.$

Równoważna definicja: residuum w punkcie $z_{0}$ funkcji $f$ holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu $z_{0}$ nazywamy wartość:

$\mathrm {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }f(z)\ \operatorname {d} z,$

gdzie $\gamma$ jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt $z_{0}.$

Zachodzi też wzór

$\mathrm {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(f(z)(z-z_{0})^{n}\right),$

gdzie $n$ to rząd bieguna w punkcie $z_{0}.$

Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.

Rozważmy przykład całki po konturze:

$\oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z,$

gdzie $C$ jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.

Obliczmy tę całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla $e^{z}$ jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:

$\oint \limits _{C}{\frac {1}{z^{5}}}\left(1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\ldots \right)\ \operatorname {d} z.$

Dołączmy składnik $1/z^{5}$ do szeregu, otrzymamy:

$\oint \limits _{C}\left({\frac {1}{z^{5}}}+{\frac {z}{z^{5}}}+{\frac {z^{2}}{2!z^{5}}}+{\frac {z^{3}}{3!z^{5}}}+{\frac {z^{4}}{4!z^{5}}}+{\frac {z^{5}}{5!z^{5}}}+{\frac {z^{6}}{6!z^{5}}}+\ldots \ \right)\operatorname {d} z,$

$\oint \limits _{C}\left({\frac {1}{z^{5}}}+{\frac {1}{z^{4}}}+{\frac {1}{2!z^{3}}}+{\frac {1}{3!z^{2}}}+{\frac {1}{4!z}}+{\frac {1}{5!}}+{\frac {z}{6!}}+\ldots \ \right)\operatorname {d} z.$

Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że:

$\oint \limits _{C}{\frac {1}{z^{a}}}\ \operatorname {d} z=0,$ gdy $a\in \mathbb {Z} \setminus \{1\}.$

Teraz całka wokół $C$ dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od $cz^{-1}$ staje się 0, i całość redukuje się do:

$\oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z=\oint \limits _{C}{\frac {1}{4!z}}\ \operatorname {d} z.$

I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego otrzymujemy równość:

$\oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z=\oint \limits _{C}{\frac {1}{4!z}}\ \operatorname {d} z={\frac {1}{4!}}(2\pi i).$

Wartość $1/4!$ jest znana jako residuum z $e^{z}/z^{5}$ w $z=0,$ a jego notacja to

$\mathrm {Res} _{0}{\frac {e^{z}}{z^{5}}},\ {\text{ lub }}\ \mathrm {Res} _{z=0}{\frac {e^{z}}{z^{5}}},\ {\text{ lub }}\ \mathrm {Res} (f,0).$

Zobacz też

• całka krzywoliniowa (twierdzenie Cauchy’ego)