Aproksymacja wielomianowa

Przykładowe wielomiany różnych stopni

Aproksymacja wielomianowa – metoda aproksymacji polegająca na przybliżeniu funkcji za pomocą wielomianu.

Sformułowanie problemu

Wiemy, że dla pewnego zbioru punktów $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}$ funkcja przyjmuje wartości $y_{0},y_{1},\dots ,y_{n}.$ Naszym celem jest znalezienie wielomianu w postaci:

$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m},$

$F(x)=\sum \limits _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}$

takiego, aby przybliżenie funkcji w punktach $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}$ było jak najlepsze. Funkcję oceny jakości wielomianu można zdefiniować w różny sposób, często stosowane kryteria to:

• maksymalna różnica $(|F(x)-y|)$ powinna być jak najmniejsza (aproksymacja jednostajna),
• suma wartości bezwzględnych różnic powinna być jak najmniejsza,
• suma kwadratów różnic powinna być jak najmniejsza (aproksymacja średniokwadratowa).

Aproksymacja wielomianowa średniokwadratowa

W aproksymacji średniokwadratowej wielomianowej funkcja błędu jest zdefiniowana następująco:

$H(a_{0},a_{1},\dots ,a_{m})=\sum \limits _{j=0}^{n}w(x_{j})(y_{j}-\sum \limits _{i=0}^{m}a_{i}x_{j}^{i})^{2}.$

Współczynnik $w(x_{j})$ jest ustaloną funkcją wagową. Najczęściej przyjmuje się, że funkcja wagowa zawsze przyjmuje wartość 1 – wówczas możemy ten czynnik pominąć.

Funkcja ta osiąga minimum w punkcie, w którym pochodne cząstkowe względem współczynników $a_{0},a_{1},\dots ,a_{m}$ są równe zero. W celu znalezienia tego minimum należy rozwiązać zatem układ równań:

${\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial a_{0}}}=0\\{\frac {\partial H}{\partial a_{1}}}=0\\\dots \\{\frac {\partial H}{\partial a_{m}}}=0\end{matrix}}$

Po przekształceniach układ ten można sprowadzić do postaci:

${\begin{matrix}a_{0}(n+1)&+&a_{1}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}&+&\dots &+&a_{m}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m}&=&\sum \limits _{j=0}^{n}y_{j}\\a_{0}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}&+&a_{1}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{2}&+&\dots &+&a_{m}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m+1}&=&\sum \limits _{j=0}^{n}y_{j}x_{j}\\\dots &&\dots &&\dots &&\dots &&\dots \\a_{0}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m}&+&a_{1}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{m+1}&+&\dots &+&a_{m}\sum \limits _{j=0}^{n}x_{j}^{2m}&=&\sum \limits _{j=0}^{n}y_{j}x_{j}^{m}\end{matrix}}$

Układ ten można rozwiązać, stosując np. wzory Cramera lub metodę Gaussa-Seidla.

Stopień wielomianu

Liczba współczynników wielomianu powinna być mniejsza od liczby punktów, które ma przybliżać funkcja $(m<n).$ Dla $m=n$ zawsze jest możliwe wyznaczenie wielomianu przechodzącego dokładnie przez podane punkty – wówczas problem sprowadza się do interpolacji wielomianowej.

Bibliografia

• Beata Pańczyk, Edyta Łukasik, Jan Sikora, Teresa Guziak: Metody numeryczne w przykładach. Lublin: Politechnika Lubelska, 2012. ISBN 978-83-63569-14-3.