Wartość bezwzględna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Wartość bezwzględna (moduł[1]) – odległość danej liczby rzeczywistej, lub ogólniej zespolonej, od zera. Przykładowo 1 jest wartością bezwzględną zarówno liczby rzeczywistej 1 jak i − 1 a także liczb zespolonych i, − i i innych.

Funkcja przyporządkowująca liczbie rzeczywistej (zespolonej) jej wartość bezwzględną jest oznaczana przez | x | lub abs(x). Pierwsze oznaczenie jest powszechnie stosowane w matematyce i fizyce, natomiast drugie jest stosowane przede wszystkim w programowaniu a także oprogramowaniu matematycznym.

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej można uogólnić na wiele innych zbiorów. Uogólnienia takie zwane są normami. I tak, norma jest definiowana także dla liczb zespolonych, kwaternionów, wielu pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych.

Wartość bezwzględna jest powiązana z pojęciem metryki.

Spis treści

[edytuj] Liczby rzeczywiste

Wykres funkcji y = | x |

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a, oznaczana | a | [2] jest definiowana wg wzoru

|a| = \begin{cases} a & \mbox {dla } a \geqslant 0 \\ -a & \mbox{dla } a<0 \end{cases}

W powyższej definicji widać, że wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zeru, ale nigdy nie jest ujemna.

Z geometrycznego punktu widzenia wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera na osi liczbowej. Ogólniej, wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb jest odległością między nimi. Pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości w matematyce może być uważane za uogólnienie wartości bezwzględnej różnicy.

[edytuj] Własności

|a| = \max(a,-a)\; równanie to używane jest czasami jako równoważna definicja wartości bezwzględnej
|a| = \sqrt{a^2} inna równoważna definicja
|a| \geqslant 0 nieujemność
|a| = 0 \iff a = 0
|ab| = |a||b|\, multiplikatywność
|a+b| \leqslant |a| + |b| podaddytywność
|-a| = |a|\, symetria
|a - b| = 0 \iff a = b prawo identyczności
|a - b| \leqslant |a - c| + |c - b| nierówność trójkąta; równoważna podaddytywności
|\tfrac{a}{b}| = \tfrac{|a|}{|b|} \mbox{ (dla } b \ne 0) zachowanie dzielenia; równoważne multiplikatywności
|a-b| \geqslant ||a| - |b|| równoważne podaddytywności
|a| \leqslant b \iff -b \leqslant a \leqslant b
|a| \geqslant b \iff a \leqslant -b \mbox{ lub } b \leqslant a

Dwa ostatnie wzory są często używane do rozwiązywania nierówności, np.:

|x-3| \leqslant 9 \iff -9 \leqslant x-3 \leqslant 9 \iff -6 \leqslant x \leqslant 12.

[edytuj] Liczby zespolone

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej na liczby zespolone jest moduł określany wzorem:

|z|=\sqrt{\operatorname{re}^2\;z+\operatorname{im}^2\;z}\quad z \in \mathbb C

interpretowany geometrycznie tak jak poprzednio – jako odległość danej liczby od zera.

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej liczby dla wektorów jest norma wektora.

Przypisy

  1. ↑ wprowadzenie terminu modułu przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, zobacz: Nahin, O'Connor and Robertson oraz functions.Wolfram.com
  2. ↑ functions.Wolfram.com przypisuje wprowadzenie oznaczenia | x | Karlowi Weierstrassowi w 1841 roku

[edytuj] Zobacz też

Wikibooks
Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna”