Asymptota

Funkcja $\scriptstyle{\tfrac{1}{x}+x}$ ma dwie asymptoty: $\scriptstyle{y=x}$ oraz $\scriptstyle{x=0}$ .

Krzywa może przecinać asymptotę również nieskończoną liczbę razy

Na powyższym rysunku, funkcja $\scriptstyle{\tfrac{1}{x}}$ ma dwie asymptoty: $\scriptstyle{x=0}$ oraz $\scriptstyle{y=0}$ . Prosta $\scriptstyle{x=0}$ jest asymptotą obustronną, podobnie $\scriptstyle{y=0}$ .

Asymptota krzywej (z gr. ἀσύμπτοτη): prosta $l$ jest asymptotą danej krzywej $C$ (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla dowolnego dodatniego $\epsilon$ istnieje zawierająca się w $l$ półprosta, taka że każdy punkt tej półprostej jest oddalony od $C$ o mniej niż $\epsilon$ .

Intuicyjnie: Asymptota krzywej to prosta, do której coraz bardziej zbliża się dana krzywa, gdy się wzdłuż niej przemieszczamy. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą.

Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Jeśli krzywa dana jest w postaci $y=f(x)$ , gdzie f jest funkcją, która nie jest określona w punkcie $x=a$ , to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa:

$\lim_{x\to a_-} f(x)=\pm \infty$ (asymptota lewostronna)
$\lim_{x\to a_+} f(x)=\pm \infty$ (asymptota prawostronna)
$\lim_{x\to a_-} f(x)=\pm \infty\wedge \lim_{x\to a_+} f(x)=\pm \infty$ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa $+\infty$ a druga $-\infty$ )

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej $y=ax+b\,$ dla krzywej danej w postaci $y=f(x)\,$ można wyznaczyć jako granice:

w przypadku asymptoty prawostronnej:

$a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$

oraz

$b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)$

w przypadku asymptoty lewostronnej:

$a=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}$

oraz

$b=\lim_{x\to -\infty}(f(x)-ax)$

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających $a\;$ lub $b\;$ nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli $a=0,\;$ to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.