Asymptota

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Funkcja \scriptstyle{\tfrac{1}{x}+x} ma dwie asymptoty: \scriptstyle{y=x} oraz \scriptstyle{x=0}.
Krzywa może przecinać asymptotę również nieskończoną liczbę razy
Na powyższym rysunku, funkcja \scriptstyle{\tfrac{1}{x}} ma dwie asymptoty: \scriptstyle{x=0} oraz \scriptstyle{y=0}. Prosta \scriptstyle{x=0} jest asymptotą obustronną, podobnie \scriptstyle{y=0}.

Asymptota krzywej (z gr. ἀσύμπτοτη - zbliżać się, zbiegać): prosta l jest asymptotą danej krzywej C (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla dowolnego dodatniego \epsilon istnieje zawierająca się w l półprosta, taka że każdy punkt tej półprostej jest oddalony od C o mniej niż \epsilon.

Intuicyjnie: Asymptota krzywej to prosta, do której coraz bardziej zbliża się dana krzywa, gdy się wzdłuż niej przemieszczamy. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą.

Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Jeśli krzywa dana jest w postaci y=f(x), gdzie f jest funkcją, która nie jest określona w punkcie x=a, to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa:

  • \lim_{x\to a_-} f(x)=\pm \infty (asymptota lewostronna)
  • \lim_{x\to a_+} f(x)=\pm \infty (asymptota prawostronna)
  • \lim_{x\to a_-} f(x)=\pm \infty\wedge \lim_{x\to a_+} f(x)=\pm \infty (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa +\infty a druga -\infty)

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej y=ax+b\, dla krzywej danej w postaci y=f(x)\, można wyznaczyć jako granice:

  • w przypadku asymptoty prawostronnej:
a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}
oraz
b=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-ax)
  • w przypadku asymptoty lewostronnej:
a=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}
oraz
b=\lim_{x\to -\infty}(f(x)-ax)

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających a\; lub b\; nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli a=0,\; to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]