Ekstrapolacja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacjaprognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie.

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Ekstrapolacja iterowana Richardsona[edytuj | edytuj kod]

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h. Wynikiem jej działania jest F(h). Wartością dokładną jest F(0). Trudności obliczeniowe rosną gdy h maleje.

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia (p_1<p_2<p_3<... )

F(h)=a_0+a_1 h^{p_1}+a_2 h^{p_2}+a_3 h^{p_3}...

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości

F(h_0), F(q^{-1} h_0), F(q^{-2} h_0), F(q^{-3} h_0) ... q>1

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji , którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:

F_n(h)=a_0+a_{n,n} h^{p_n}+a_{n,n+1} h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2} h^{p_{n+2}}...

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa h_0 i liczba q>1, stosuje się wzór rekurencyjny:

A_{m,0}=F(q^{-m}h_0)
m=0,1,2...
A_{m,k}=A_{m,k-1}+\frac{A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_k}-1}
k=1,2,3...
F_n(h_0)=A_{n-1,n-1}
n=2,3,4...

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego[edytuj | edytuj kod]

f(x_0+h)=f(x_0)+h f'(x_0)+\frac{h^2}{2!}f''(x_0)+\frac{h^3}{3!}f^{(3)}(x_0)+...

Różnica progresywna

D_p(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)+\frac{h}{2!}f''(x_0)+\frac{h^2}{3!}f^{(3)}(x_0)+...
p_1=1,p_2=2, p_3=3, ...

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]