Interpolacja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy metody numerycznej. Zobacz też: inne znaczenia słowa interpolacja.

Interpolacjametoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami[1]. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja[2].

Interpolacja skończonego zbioru punktów epitrochoidy (niebieska krzywa).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie przedział [a, b] \subseteq \mathbb R oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów (x_k)_{k=0}^n z tego przedziału,

a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b.

Wyrazy x_0,\ldots,x_n powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Przypuśćmy także, że zadane są wartości y_k \in {\mathbb R} dla k = 0, 1, \ldots, n. Pary (x_k, y_k) nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję f określoną na przedziale [a, b] nazywamy funkcją interpolacyjną (również interpolującą[1]) określoną w zadanych węzłach jeśli

f(x_k)=y_k dla wszystkich k=0,\ldots,n.

Jeśli dana jest funkcja \varphi:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R} oraz y_k = \varphi(x_k) dla każdego k = 0, 1, \dots, n, to funkcja interpolująca punkty pomiarowe (x_k, y_k) (dla k=0,\ldots,n) może być nazwana interpolacją funkcji \varphi w węzłach x_0,\ldots,x_n.

Na funkcję interpolującą f nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych i tak, jeśli zażądamy aby f była określonej klasy, to mówimy wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

Węzeł funkcji[edytuj | edytuj kod]

Węzeł funkcji to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość.

Jeżeli:

f: A\to B, jest funkcją z A w B
x_i jest elementem A, dla którego znana jest wartość f(x_i): y_i=f(x_i),y_i\in B

to x_i jest węzłem funkcji f.

W praktyce zbiór węzłów jest skończonym zbiorem argumentów, dla których eksperymentalnie wyznaczono wartości nieznanej funkcji (będącej np. funkcją zależności mocy silnika, od wartości wychylenia wirnika).

Interpolacja liniowa[edytuj | edytuj kod]

Interpolacja wielomianowa[edytuj | edytuj kod]

Interpolacja liniowa
 Osobny artykuł: Interpolacja wielomianowa.

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a a jej podstawą jest twierdzenie, że

Dla danych n+1 punktów pomiarowych parami różnych od siebie istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n interpolujący te punkty[3].

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, zadanie interpolacji dla dwóch węzłów x_0 i x_1. Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty (x_0, f(x_0)) i (x_1, f(x_1)) (por. rysunek).

Funkcje sklejane[edytuj | edytuj kod]

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia (najczęściej trzeciego), jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację[4]. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

Funkcje trygonometryczne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Interpolacja trygonometryczna.

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji trygonometrycznych mających charakter okresowy.

Interpolacja nieliniowa[edytuj | edytuj kod]

Wymierna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Interpolacja wymierna.

Interpolacja wymierna polega na przybliżaniu funkcji za pomocą funkcji wymiernej. Rozwiązanie zadania interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwiązywalne[5].

Wykładnicza[edytuj | edytuj kod]

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

  • obliczanie wartości funkcji podanych za pomocą tablic w punktach różnych od podanych w tablicy[6]
  • zagęszczanie tablic[6]
  • obliczanie poprawek[6]
  • zastępowanie skomplikowanych funkcji wielomianem odpowiedniego stopnia[6]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]