Elipsoida naprężeń Lamégo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elipsoida naprężeń Lamégo - graficzna reprezentacja stanu naprężenia, alternatywna do koła Mohra. Elipsoida ta jest miejscem geometrycznym końców wektorów naprężenia \mathbf T^{(\mathbf n)}\,\!. Jej istnienie zostało stwierdzone przez Cauchy'ego i Lamego w okresie powstawania teorii sprężystości (około 1820-1830)[1].

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Wektor naprężenia \mathbf T^{(\mathbf n)}\,\! ( gdzie \mathbf n\,\! jest wektorem normalnym) w dowolnym punkcie P\,\! może być zapisany jako:

T_1^{(\mathbf n)}=\sigma_1n_1, \qquad T_2^{(\mathbf n)}=\sigma_2n_2, \qquad T_3^{(\mathbf n)}=\sigma_3n_3\,\!

\sigma_1n_1,~~ \sigma_2n_2,~~ \sigma_3n_3 - naprężenia główne

Zgodnie z własnością wektora normalnego możemy napisać:

n_1^2+n_2^2+n_2^2=1=\frac{T_1}{{\sigma_1}^2}^2+\frac{T_2}{{\sigma_2}^2}^2+\frac{T_3}{{\sigma_3}^2}^2\,\!

Otrzymujemy równanie elipsoidy o środku zgodnym z zadanym układem współrzędnych i półosiach \pm\sigma_1, \pm\sigma_2, \pm\sigma_3\,\!.

Interpretacja[edytuj | edytuj kod]

W odniesieniu do powstałej konstrukcji niezmienniki stanów naprężenia I_1, I_2, I_3 moża interpretować następująco:

  • I_1 - jest sumą trzech półosi elipsoidy naprężeń
  • I_2 - jest proporcjonalne do sumy pól trzech przekrojów głównych elipsoidy
  • I_3 - jest proporcjonalne do objętości elipsoidy

Zobacz również[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Fung, Yuan-cheng: Podstawy mechaniki ciała stałego. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.

,