Elipsoida

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Elipsoida dla a=4, b=2, c=1

Elipsoidapowierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę, ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.

Równanie[edytuj | edytuj kod]

Równanie elipsoidy o środku symetrii w punkcie (x_0, y_0, z_0)\;, osiach równoległych do osi układu i półosiach długości a,b,c\; ma postać:

 \frac {(x-x_0)^2}{a^2} + \frac {(y-y_0)^2}{b^2} + \frac {(z-z_0)^2}{c^2} = 1.

Dla środka w początku układu współrzędnych równanie to przyjmuje postać:

 \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1.

Dla a=b=c\; elipsoida jest sferą o promieniu a\;.

Elipsoida, niezależnie od jej ustawienia w przestrzeni i doboru układu współrzędnych spełnia równanie powierzchni drugiego stopnia[1]:

a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12} xy+2a_{23} yz+2a_{31} zx+2a_{14} x+2a_{24} y+2a_{34} z+a_{44}=0,\;

przy czym w celu odróżnienia jej od innych takich powierzchni należy zastosować (przyjmując a_{ij}=a_{ji}) warunki:

\Delta=\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{matrix}\right| <0

oraz

T=a_{22} a_{33}+ a_{33} a_{11}+ a_{11} a_{22} -a_{23}^2 -a_{31}^2 -a_{12}^2>0.\;

Objętość[edytuj | edytuj kod]

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem:

V = \frac 4 3 \pi a b c.

Pole powierzchni[edytuj | edytuj kod]

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:

S=2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right),

gdzie

m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)},
\theta = \arcsin{\varepsilon},
\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}},

a F(\theta, m)\; i E(\theta, m)\; są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 300.