Naprężenie

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju:

$\vec s = \mathop {\lim_{A \to 0}} {{\vec F } \over A}$

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

$\vec s = \sigma \vec n + \vec \tau$

gdzie:

s – wektor naprężenia,

F – wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju,

A – pole przekroju,

σ – składowa normalna (prostopadła do powierzchni),

n – wektor normalny do powierzchni,

τ – składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

Kartezjański układ współrzędnych

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

Wprowadzając w kartezjańskim układzie współrzędnych w dowolnym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σ_x, τ_xy, τ_xz, σ_y, τ_yx, τ_yz, σ_z, τ_zx, τ_zy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi:

$\vec s = \sigma_z \vec k + \tau_{zx} \vec i + \tau_{zy} \vec j = \sigma \vec n + \vec \tau$

gdzie: k = n – wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i, j – wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki:

τ_xy = τ_yx

τ_xz = τ_zx

τ_yz = τ_zy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne są równe zeru a niezerowe pozostają wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające mu niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne.

Zapis tensorowy

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem). W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

$\vec s=\sigma_{ij} n^i \vec {g^j}$

gdzie: g – wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

$\vec{s} = \sigma \cdot \vec{n}$

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

$\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} {\sigma_x} & {\tau_{xy}} & {\tau_{xz}} \\ {\tau_{xy}} & {\sigma_y} & {\tau_{yz}} \\ {\tau_{xz}} & {\tau_{yz}} & {\sigma_z} \end{pmatrix}$

gdzie:

$\sigma_x$, $\sigma_y$, $\sigma_z$ – składowe normalne

$\tau_{xy}$, $\tau_{xz}$, $\tau_{yz}$ – składowe ścinające

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – powoduje zmianę objętości (gęstości) ciała i dla części materiałów nie prowadzi do powstania odkształceń trwałych.

Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – zawsze doprowadza do zmiany postaci ciała i może prowadzić do odkształceń trwałych.

$\begin{matrix}{\begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix}} \\ \, \end{matrix} \begin{matrix} = \\ \, \end{matrix} \underbrace{\begin{matrix} {\begin{pmatrix} \sigma_0 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_0 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_0 \end{pmatrix}} \\ \, \end{matrix}}_{\text{aksjator}} \begin{matrix} + \\ \, \end{matrix} \underbrace{\begin{matrix} {\begin{pmatrix} \sigma_{11} - \sigma_0 & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} - \sigma_0 & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} - \sigma_0 \end{pmatrix}} \\ \, \end{matrix}}_{\text{dewiator}}$

gdzie:

$\sigma_0 = \frac {\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}$

Niezmienniki stanu naprężenia

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, posiada trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych $I_1$, $I_2$, $I_3$

Zobacz też

• odkształcenie
• prawo Hooke'a
• naprężenie w geologii

Linki zewnętrzne

• Fale naprężenia na linii - Applet (Spannungswellen auf einer Leitung - Applet - GER)