Naprężenie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Naprężenie – miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju:

\vec s   = \mathop {\lim_{A \to 0}} {{\vec F } \over A}

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

\vec s = \sigma \vec n + \vec \tau

gdzie:

swektor naprężenia,
F – wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju,
A – pole przekroju,
σ – składowa normalna (prostopadła do powierzchni),
nwektor normalny do powierzchni,
τ – składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

Kartezjański układ współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenia składowych stanu naprężenia.

Wprowadzając w kartezjańskim układzie współrzędnych w dowolnym punkcie[1] ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σx, τxy, τxz, σy, τyx, τyz, σz, τzx, τzy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi:

\vec s = \sigma_z \vec k + \tau_{zx} \vec i + \tau_{zy} \vec j = \sigma \vec n + \vec \tau

gdzie: nwersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i, j – wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki:

τxy = τyx
τxz = τzx
τyz = τzy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne są równe zeru a niezerowe pozostają wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia. Odpowiadające mu niezerowe składowe normalne to wartości główne naprężeń lub po prostu naprężenia główne.

Zapis tensorowy[edytuj | edytuj kod]

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ reprezentowany przez macierz zawierającą składowe naprężenia, której elementy przekształcają się wraz z przyjętym układem współrzędnych (np. jego obrotem). W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

\vec s=\sigma_{ij} n^i \vec {g^j}

gdzie: gwektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

\vec{s} = \sigma \cdot \vec{n}

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: \sigma_{ij} = \sigma_{ji}

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

\sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
{\sigma_x} & {\tau_{xy}} & {\tau_{xz}} \\
{\tau_{yx}} & {\sigma_y} & {\tau_{yz}} \\
{\tau_{zx}} & {\tau_{zy}} & {\sigma_z} \end{pmatrix}

gdzie:

\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z – składowe normalne
\tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz} – składowe ścinające

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe[edytuj | edytuj kod]

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator – stan hydrostatyczny (aksjacyjny) – powoduje zmianę objętości (gęstości) ciała i dla części materiałów nie prowadzi do powstania odkształceń trwałych.
Dewiator – stan czystego ścinania (dewiacyjny) – zawsze doprowadza do zmiany postaci ciała i może prowadzić do odkształceń trwałych.


\begin{matrix}{\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{pmatrix}} \\
\,
\end{matrix}
\begin{matrix}
= \\
\, \end{matrix}
\underbrace{\begin{matrix}
{\begin{pmatrix}
\sigma_0 & 0 & 0 \\
0 & \sigma_0 & 0 \\
0 & 0 & \sigma_0
\end{pmatrix}} \\
\,
\end{matrix}}_{\text{aksjator}}
\begin{matrix}
+ \\
\, \end{matrix}
\underbrace{\begin{matrix}
{\begin{pmatrix}
\sigma_{11} - \sigma_0 & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} - \sigma_0 & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} - \sigma_0
\end{pmatrix}} \\
\,
\end{matrix}}_{\text{dewiator}}
gdzie:
\sigma_0 = \frac {\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}

Niezmienniki stanu naprężenia[edytuj | edytuj kod]

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, posiada trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych I_1 , I_2, I_3

 Osobny artykuł: Naprężenie główne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Rozważając punkt ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]