Filtr Czebyszewa

Przebieg przykładowych charakterystyk amplitudowych filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa I i II typu

Filtr Czebyszewa – rodzaj filtru elektrycznego, którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.

Typu filtrów Czebyszewa

Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:

• filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym,
• filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Typ II (inwersyjny)

Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu) w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):

• operowanie częstotliwością znormalizowaną Ω,
• konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora s dla otrzymanych transmitancji K(s).

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych FDP:

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych filtrów prototypowych dolnoprzepustowych – FPD

Kwadrat modułu transmitancji K(s) filtru Czebyszewa II typu, w ujęciu widmowym (s = jω), dany jest następującym wzorem:

$|K(\Omega )|^{2}=K(S)\cdot K(-S)=\frac{1}{1+\epsilon ^{2}\cdot \frac{T_{N}^{2}\cdot (\frac{\Omega_{zap} }{\Omega_{C}})}{T_{N}^{2}(\frac{\Omega_{zap} }{\Omega})}}$

gdzie:

A_max – przyjmuje się wartość 3 dB

ε – współczynnik zafalowań w paśmie przepustowym

$\epsilon =\sqrt{10^{0,1A_{max}} - 1}$ stąd: ε = 1

$\Omega_{zap}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP

$\Omega_{c} = 1$

$T_{N}$ – wielomian Czebyszewa rzędu N

Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji K(s):

$s_{v}=\frac{\Omega_{zap} }{\sigma \cdot sin(\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\Pi }{2})\pm j\cdot \omega _{HA}\cdot cos(\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\Pi }{2})}$

gdzie:

$v_{max}=1,2..N$

$A_{min}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP

$\omega _{HA}=cosh(\frac{1}{N}\cdot sinh^{-1}\sqrt{10^{0,1\cdot A_{min}}-1})$

$\sigma _{HA}=\sqrt{\omega _{HA}^2 -1}$

oraz zera transmitancji K(s):

$\omega _{0\mu } =\pm\frac{{\Omega {zap}}}{cos(\frac{2\mu -1}{N}\cdot \frac{\Pi }{2})}$

gdzie:

$\mu_{max}= \begin{Bmatrix} \frac{N-1}{2} \, \, dla \, N-nieparzystych\\\frac{N}{2} \, \, dla \, N-parzystych \end{Bmatrix}$

Po obliczeniu biegunów i zer, następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części Re < 0 !) do wzoru na transmitancję K(s):

$K(s)= \frac{\prod_{\mu =1}^{\mu=max}\cdot (s^2+\omega^{2}_{o\mu})}{\prod_{v =1}^{v=max}\cdot (s-s_v)}$

gdzie:

$\mu_{max}= \begin{Bmatrix}\frac{N-1}{2} \, \, dla \, N-nieparzystych\\\frac{N}{2} \, \, dla \, N-parzystych \end{Bmatrix}$

$v_{max}=1,2..N$

Przykładowa transmitancja K(s) dla filtru FDP rzędu 3 (N = 3) o parametrach Ω_zap = 1,15, A_min = 9 dB:

$K(s)= \frac{s^2+1,3279^{2}}{(s^2 + 0,6199\cdot s + 1,1974)\cdot (s+1,9315)}$

Przykładowa charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3

Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu)

Rodzina charakterystyk amplitudowych filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3

Przy założeniu parametrów pasma przepustowego: A_max = 3 dB @ Ω_c = 1, główne właściwości filtru Czebyszewa II typu są następujące:

• przy stałym rzędzie N filtru, istotna jest zależność pomiędzy A_min a Ω_zap;
• gdy wartości Ω_zap bliskie Ω_c = 1 – powodują zmniejszanie wartości A_min (zjawisko niekorzystne);
• gdy Ω_zap >> 1, wtedy zwiększa się wartość A_min (zmniejszenie zafalowań w paśmie zaporowym), ale również poszerza się pasmo przejściowe.

Bibliografia

1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.,: Teoria sygnałów, Helion Gliwice 1999
2. G.Fritzsche Entwurf linearer Schaltungen,, VEB Verlag Technik 1962