Filtr Czebyszewa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przebieg przykładowych charakterystyk amplitudowych filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa I i II typu

Filtr Czebyszewa – rodzaj filtru elektrycznego, którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.

Typu filtrów Czebyszewa[edytuj | edytuj kod]

Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:

  • filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym,
  • filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Typ II (inwersyjny)[edytuj | edytuj kod]

Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu) w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):

  • operowanie częstotliwością znormalizowaną Ω,
  • konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora s dla otrzymanych transmitancji K(s).

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych FDP:

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych filtrów prototypowych dolnoprzepustowych – FPD


Kwadrat modułu transmitancji K(s) filtru Czebyszewa II typu, w ujęciu widmowym (s = jω), dany jest następującym wzorem:

|K(\Omega )|^{2}=K(S)\cdot K(-S)=\frac{1}{1+\epsilon ^{2}\cdot \frac{T_{N}^{2}\cdot (\frac{\Omega_{zap} }{\Omega_{C}})}{T_{N}^{2}(\frac{\Omega_{zap} }{\Omega})}}

gdzie:

Amax – przyjmuje się wartość 3 dB
ε – współczynnik zafalowań w paśmie przepustowym
\epsilon =\sqrt{10^{0,1A_{max}} - 1} stąd: ε = 1
 \Omega_{zap} – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP
 \Omega_{c} = 1
T_{N} – wielomian Czebyszewa rzędu N

Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji K(s):

 s_{v}=\frac{\Omega_{zap} }{\sigma \cdot sin(\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\Pi }{2})\pm j\cdot \omega _{HA}\cdot cos(\frac{2v-1}{N}\cdot \frac{\Pi }{2})}

gdzie:

v_{max}=1,2..N
 A_{min} – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP
 \omega _{HA}=cosh(\frac{1}{N}\cdot sinh^{-1}\sqrt{10^{0,1\cdot A_{min}}-1})
\sigma _{HA}=\sqrt{\omega _{HA}^2 -1}

oraz zera transmitancji K(s):

 \omega _{0\mu } =\pm\frac{{\Omega  {zap}}}{cos(\frac{2\mu -1}{N}\cdot \frac{\Pi }{2})}

gdzie:

 \mu_{max}= \begin{Bmatrix} \frac{N-1}{2} \,   \, dla \,  N-nieparzystych\\\frac{N}{2} \,   \, dla \,  N-parzystych \end{Bmatrix}


Po obliczeniu biegunów i zer, następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części Re < 0 !) do wzoru na transmitancję K(s):

K(s)= \frac{\prod_{\mu =1}^{\mu=max}\cdot (s^2+\omega^{2}_{o\mu})}{\prod_{v =1}^{v=max}\cdot (s-s_v)}

gdzie:

 \mu_{max}= \begin{Bmatrix}\frac{N-1}{2} \,   \, dla \,  N-nieparzystych\\\frac{N}{2} \,   \, dla \,  N-parzystych \end{Bmatrix}
v_{max}=1,2..N


Przykładowa transmitancja K(s) dla filtru FDP rzędu 3 (N = 3) o parametrach Ωzap = 1,15, Amin = 9 dB:

K(s)= \frac{s^2+1,3279^{2}}{(s^2 + 0,6199\cdot s + 1,1974)\cdot (s+1,9315)}
Przykładowa charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3


Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu)[edytuj | edytuj kod]

Rodzina charakterystyk amplitudowych filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3

Przy założeniu parametrów pasma przepustowego: Amax = 3 dB @ Ωc = 1, główne właściwości filtru Czebyszewa II typu są następujące:

  • przy stałym rzędzie N filtru, istotna jest zależność pomiędzy Amin a Ωzap;
  • gdy wartości Ωzap bliskie Ωc = 1 – powodują zmniejszanie wartości Amin (zjawisko niekorzystne);
  • gdy Ωzap >> 1, wtedy zwiększa się wartość Amin (zmniejszenie zafalowań w paśmie zaporowym), ale również poszerza się pasmo przejściowe.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.,: Teoria sygnałów, Helion Gliwice 1999
  2. G.Fritzsche Entwurf linearer Schaltungen,, VEB Verlag Technik 1962

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]