Wielomiany Czebyszewa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Czebyszewaukład wielomianów ortogonalnych tworzący bazę wielomianów, nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Definicja rekurencyjna[edytuj | edytuj kod]

T_0(x)=1 \,
T_1(x)=x \,
T_k(x)=2x\cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)

Postać jawna[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązaniem powyższej rekurencji (otrzymanym np. przez metodę równania charakterystycznego rekursji) jest :

T_k(x) = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^k + (x-\sqrt{x^2-1})^k}{2}

Parzystość wielomianów Czebyszewa[edytuj | edytuj kod]

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k - nieparzysty:

T_k(-x)=(-1)^kT_k(x) \,

Postać trygonometryczna[edytuj | edytuj kod]

Dla x\in [-1;1] podstawiając za  x =\cos\ t, dla k=0,1,2,\cdots

T_k(\cos\ t ) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{\cos^2\ t-1})^k + (\cos\ t-\sqrt{\cos^2-1})^k}{2} =
T_k(\cos\ t ) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{-\sin^2\ t})^k + (\cos\ t-\sqrt{-\sin^2\ t})^k}{2} =
T_k(\cos\ t ) = \frac{(\cos\ t + i\cdot \sin\ t)^k + (\cos\ t- i\cdot \sin\ t)^k}{2}

gdzie i^2=-1

Po zastosowaniu wzoru de Moivre'a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:
\! T_k(\cos\ t ) = \cos kt
Wracając do zmiennej  x : \! t = \arccos x
\! T_k(x)=\cos(k\cdot \arccos(x)) (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcję trygonometryczną cos i jej odwrotność arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

T_k(x) = 
\begin{cases} 
\cos(k\arccos x), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(k \, \mathrm{arcosh}(x)), & \ x \geqslant 1 \\
(-1)^k \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \ x \leqslant -1 \\
\end{cases}

Można wykazać, że


\cos(k\cdot t)=\frac{e^{i k \cdot t}+e^{-i k \cdot t}}{2}=\frac{(e^{i \cdot t})^k+(e^{i \cdot t})^{-k}}{2}

ponieważ zachodzi


\! e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+i \sin(t)

oraz


\sin(t)=\sqrt{1-\cos(t)^2}

zachodzi


e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+ \sqrt{\cos(\cdot t)^2-1}

a stąd


\cos(k \cdot t)=\frac{(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^k+(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^{-k}}{2}

podstawiają za \cos(t) x, otrzymuje się


 T_k(x)=\frac{(x+ \sqrt{x^2-1})^k+(x+ \sqrt{x^2-1})^{-k}}{2}

Zera wielomianów Czebyszewa[edytuj | edytuj kod]

Wielomian Czebyszewa T_k(x) posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

x_j=\cos \left(\frac {2\cdot j -1}{2\cdot k}\cdot\pi \right)
j=1,2,\cdots , k

Ortogonalność[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni L_p^2[-1,1] z funkcją wagową w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}:

\int\limits_{-1}^1 T_k(x)T_j(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{
\begin{matrix}
0 &: k\ne j~~~~~\\
\pi &: k=j=0\\
\pi/2 &: k=j\ne 0
\end{matrix}
\right.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

	\langle T_k,T_j\rangle = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{T_k(x) \cdot T_j(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{\cos( k \cdot \arccos(x)) \cdot \cos( j \cdot \arccos(x))}{\sqrt{1-x^2}} dx

Zastosujmy podstawienie  t = \arccos(x) \,. Mamy wówczas  \frac{dt}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} oraz  x = \cos(t) \,. Stosując we wcześniejszym wzorze:

	\langle T_k,T_j\rangle =  - \int\limits_{ \pi } ^{0} \frac{ \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) }{\sqrt{1-cos^2(t)}} \sqrt{1-cos^2(t)} dt = \int\limits_{0} ^{\pi} \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) dt

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego  \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} [cos (\alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)] dostajemy

	\langle T_k,T_j\rangle = \int\limits_{0} ^{ \pi } \frac{1}{2} [cos((k-j)t) + \cos((k+j)t)] dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi }  \cos((k-j)t) dt  + \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k+j)t) dt

Załóżmy w tym momencie, że  k \neq j i rozpatrzmy obie całki osobno.

	\int\limits_{0} ^{ \pi }  \cos((k-j)t) dt = \frac{1}{k-j} \int\limits_{0} ^{(k-j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k-j} [ \sin(t) ] ^{(k-j) \pi} _{0} = 0

Analogicznie:

	\int\limits_{0} ^{ \pi }  \cos((k+j)t) dt = \frac{1}{k+j} \int\limits_{0} ^{(k+j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k+j} [ \sin(t) ] ^{(k+j) \pi} _{0} = 0

Zatem:

\langle T_k,T_j\rangle=0

Widać, że założenie, iż  k \neq j jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe rówanania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy j=k \neq 0

	\langle T_k,T_k\rangle  = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi }  [cos((k-k)t) + \cos((k+k)t)] dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi }  [1 + \cos(2kt)] dt =
		   = \frac{\pi}{2} + \int\limits_{0} ^{\pi} \cos(2kt) dt = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2k} \int\limits_{0} ^{2k \pi} \cos(t) dt = \frac{\pi}{2}

W przypadku k = j = 0 \, dostajemy  \langle T_0,T_0\rangle = \pi co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszewa[edytuj | edytuj kod]

T0 T1, T2 T3 T4 T5

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,

Własności[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa \frac{1}{2^{k-1}}T_k(x) ma na odcinku [-1;1] najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną) spośród wszystkich wielomianów stopnia k. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

w_k(x)=x^k + a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0

zachodzi nierówność:

 \max_{x\in [-1;1]} |w_k(x)| \geqslant \max_{x\in [-1;1]} |\frac{1}{2^{k-1}}T_k(x)|

Wiedząc, że dla każdego x\in [-1;1] wielomian T_k(x) przyjmuje wszystkie wartości z [-1;1], możemy napisać:

 \max_{x\in [-1;1]} |w_k(x)| \geqslant \frac{1}{2^{k-1}}

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Definicja rekurencyjna[edytuj | edytuj kod]

T_0(x)=1 \,
T_1(x)=2x \,
T_k(x)=2x\cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego:  \rho (x) = \sqrt{1-x^2}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]