Funkcje Kelvina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje Kelvina – funkcje powiązane z funkcjami Bessela zespolonego argumentu. Oznaczane są symbolami:

 {\rm ber}_\nu z
 {\rm bei}_\nu z
 {\rm ker}_\nu z
 {\rm kei}_\nu z
 {\rm her}_\nu z
 {\rm hei}_\nu z

gdzie \; z \; jest zmienną zespoloną, a rzeczywisty parametr \; \nu \; rzędem funkcji.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Ber(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{ber}(x) / e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.
Bei(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{Bei}(x) / e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.
Ker(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{Ker}(x) e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.
Kei(x) for x between 0 and 10.
\mathrm{Kei}(x) e^{x/\sqrt{2}} for x between 0 and 100.

ber(x), bei(x)[edytuj | edytuj kod]

Funkcje \; {\rm ber}_\nu z \; oraz \; {\rm bei}_\nu z \; są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Bessela rzędu rzeczywistego \; J_{\nu}(...) \; o argumencie zespolonym pomnożonym przez stała matematyczną e podniesioną do potęgi \; 3 \pi i/4 \; gdzie \; i \; jest jednostką urojoną:

 J_{m}(e^{\pm 3 \pi i/4} z) \; = \; {\rm ber}_\nu z \pm i \, {\rm bei}_\nu z

Alternatywną definicją jest:

 e^{\nu \pi i/2} I_{\nu}(e^{\pi i/4} z) \; = \; {\rm ber}_\nu z + i \, {\rm bei}_\nu z

gdzie \; I_{\nu}(...) \; jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu rzeczywistego.

ker(x), kei(x)[edytuj | edytuj kod]

Funkcje \; {\rm ker}_\nu z \; oraz \; {\rm kei}_\nu z \; są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną podzielonej przez \; e^{\nu \pi i/2} \; zmodyfikowanej funkcji Bessela drugiego rodzaju rzędu rzeczywistego \; K_{\nu}(...) \; o argumencie zespolonym pomnożonym przez \; e^{\pi i/4} \;  :

 e^{- \nu \pi i/2} K_{\nu}(e^{\pi i/4} z) \; = \; {\rm ker}_\nu z + i \, {\rm kei}_\nu z

her(x), hei(x)[edytuj | edytuj kod]

Funkcje \; {\rm her}_\nu z \; oraz \; {\rm hei}_\nu z \; są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Hankela I rodzaju rzędu rzeczywistego \; H^{(1)}_{\nu}(...) \; o argumencie zespolonym pomnożonym przez \; e^{3 \pi i/4} \; :

 H^{(1)}_{\nu}(e^{\pm 3 \pi i/4} z) \; = \; {\rm her}_\nu z \pm i \, {\rm hei}_\nu z

Funkcje rzędu zerowego[edytuj | edytuj kod]

W zapisie rząd zerowy funkcji Kelvina opuszcza się, tj. mamy:

 J_{0}(i^{\pm 3/2} z) \; = \; {\rm ber} \, z \pm i \, {\rm bei} \, z
 J_{0}(i \sqrt{i} \, z) \; = \; {\rm ber} \, z \pm i \, {\rm bei} \, z
 J_{0}(e^{\pm 3 \pi i/4} z) \; = \; {\rm ber} \, z + i \, {\rm bei} \, z
 J_{0}(e^{- \pi i/4} z) \; = \; {\rm ber} \, z + i \, {\rm bei} \, z
 K_{0}(i^{\pm 1/2} z) \; = \; {\rm ker} \, z \pm i \, {\rm kei} \, z
 K_{0}(\sqrt{i} \, z) \; = \; {\rm ker} \, z + i \, {\rm kei} \, z
 K_{0} (\sqrt{-i} \, z) \; = \; {\rm ker} \, z - i \, {\rm kei} \, z
 H^{(1)}_{0}(i^{+ 3/2} z) \; = \; {\rm her} \, z + i \, {\rm hei} \, z

Własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcje Kelvina są rzeczywiste dla rzeczywistych wartości argumentu \; z \;. W punkcie \; z = 0 \; przestrzeni zespolonej funkcje Kelvina posiadają punkt rozgałęzienia z wyjątkiem funkcji \; {\rm ber}_n z \; oraz \; {\rm bei}_n z \; rzędu rzeczywistego całkowitego.

Między funkcjami Kelvina zachodzą związki:

 {\rm ker}_\nu z  \; = \;  - \frac{\pi}{2} \, {\rm hei}_\nu z
 {\rm kei}_\nu z  \; = \;  \frac{1}{2} \, {\rm her}_\nu z

Funkcje \; {\rm ber} \, z, \, {\rm bei} \, z, \, {\rm her} \, z, \, {\rm hei} \, z, \; spełniają równanie różniczkowe:

 \frac{d^2 f(z)}{dz^2} + \frac{1}{z} \, \frac{d f(z)}{dz} - i \, f(z)  \; = \;  0

Natomiast funkcje \; {\rm ber}_\nu z, \, {\rm bei}_\nu z, \, {\rm her}_\nu z, \, {\rm hei}_\nu z, \; spełniają równanie różniczkowe:

 \frac{d^2 f(z)}{dz^2} + \frac{1}{z} \, \frac{d f(z)}{dz} - \left( i + \frac{\nu^2}{z^2} \right) \, f(z)  \; = \;  0

Rozwinięcia[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji \; {\rm ber}_n \, z \; o rzędzie całkowitym \; n \; różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

 {\rm ber}_n \, z  \; = \;  \left(\frac{z}{2}\right)^n \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \, \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{z^2}{4}\right)^k

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji \; {\rm ber} \, z \; rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

 {\rm ber}(z) = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(-1)^k (z/2)^{4k}}{[(2k)!]^2}

tj.:

 {\rm ber}(z) = 1 - \frac{1}{(2!)^2} \, \left( \frac{z}{2}  \right)^4 + \frac{1}{(4!)^2} \, \left( \frac{z}{2}  \right)^8 - ...

Dla funkcji \; {\rm bei}_n \, z \; o rzędzie całkowitym \; n \; różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

 {\rm bei}_n \, z  \; = \;  \left(\frac{z}{2}\right)^n \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \, \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{z^2}{4}\right)^k

gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.

W przypadku funkcji \; {\rm bei} \, z \; rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:

 {\rm bei}(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k (z/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^2}

tj.

 {\rm bei}(z) = \left( \frac{z}{2}  \right)^2 - \frac{1}{(3!)^2} \, \left( \frac{z}{2} \right)^6 + \frac{1}{(5!)^2} \, \left( \frac{z}{2} \right)^{10} - ...

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
  • Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions.
  • Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
  • Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).
  • Korn G.A., Korn T.M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.