Funkcja Γ

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji gamma

Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) — jedna z funkcji specjalnych, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):

\Gamma(z) = \int\limits_0^{+\infty}  t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części można pokazać, że:

\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z).

Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.

Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:

\Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow +\infty}{{n!n^z}\over{z(z+1)(z+2) \ldots (z+n)}}= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}

Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):

\frac{1}{\Gamma (z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\right]

Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.

Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności.

Własności funkcji Gamma[edytuj | edytuj kod]

\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)
\Gamma (z)\cdot \Gamma (z+ \frac{1}{2}) =\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2\cdot z\ -1}}\cdot \Gamma (2\cdot z)

Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:

\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z) =\frac{\pi }{\sin{\pi z}}
\Gamma (z+\frac{1}{2})\cdot \Gamma (\frac{1}{2}-z) =\frac{\pi }{\cos{\pi z}}

Jeśli -1<Re(z)<1, to:

\Gamma (z)=\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\sin{t}dt

Jeśli 0<Re(z)<1, to:

\Gamma (z)=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\cos{t}dt

Wzór iloczynowy Gaussa:

\Gamma (nz)=\frac{n^{nz}}{\sqrt{(2\pi)^{n-1}}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{n})\Gamma(z+\frac{2}{n})\ldots\Gamma(z+\frac{n-1}{n})

Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:

\Gamma (n)\ =\ (n-1)!
\Gamma (n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
\Gamma(n+1/p) =  \Gamma(1/p) \frac{(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^n}

gdzie x!^{(p)} oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.

Wykres funkcji zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Technika kolorowania dziedziny[edytuj | edytuj kod]

Kompletny wykres
Moduł
Argument
Część rzeczywista
Część urojona
Wykres funkcji zespolonej \Gamma(z) uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Rzut przestrzenny modułu kolorowany argumentem[edytuj | edytuj kod]

x - część rzeczywista, oś y - część urojona, oś z - moduł wyniku, kolor - argument wyniku

Wybrane wartości funkcji Gamma[edytuj | edytuj kod]


\begin{array}{lll}
\Gamma(-2) &- & \\
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363271801 \\
\Gamma(-1) &- & \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.544907702 \\
\Gamma(0) &- & \\
\Gamma(1/7) & &\approx 6.548062940 \\
\Gamma(1/6) & &\approx 5.566316002 \\
\Gamma(1/5) & &\approx 4.590843712 \\
\Gamma(1/4) & &\approx 3.625609908 \\
\Gamma(1/3) & &\approx 2.678938535 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772453851 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(x_{min}) & &= 0.885603194 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886226925 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329340388 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323350970 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

x_{min} jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0, x_{min}\approx 1.461632145.

Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum (-1)^n/n!).

Logarytmiczna pochodna funkcji gamma[edytuj | edytuj kod]

Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma

Można zdefiniować funkcję \psi(z), którą nazywamy logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją digamma:

\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

gdzie z\neq 0,-1,-2,\dots. Zachodzą relacje (\gamma - stała Eulera-Mascheroniego):

\psi(z)=-\gamma+\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z}\right)
\psi'(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\left(z+k\right)^2}

Ponadto dla dużych x można używać przybliżenia:

\psi(x)\approx \ln x-\frac{1}{2x}

Funkcja poligamma[edytuj | edytuj kod]

Definiuje się także funkcję:

\psi^{(n)}(z)=\frac{d^n\psi(z)}{dz^n}=\left(\frac{d}{dz}\right)^{n+1}\ln\Gamma(z)

którą nazywamy funkcją poligamma n-tego rzędu. Wtedy funkcję digamma można zdefiniować w następujący sposób:

\psi(z)=\psi^{(0)}(z).

Funkcję \psi^{(1)} nazywa się czasem funkcją trigamma lub trójgamma.

Funkcja \ln\Gamma(z) i kilka pierwszych funkcji poligamma na płaszczyźnie zespolonej

\ln\Gamma(z)
\psi^{(0)}(z) (digamma)
\psi^{(1)}(z) (trigamma)
\psi^{(2)}(z)
\psi^{(4)}(z)
Wykresy funkcji zespolonej uzyskane techniką kolorowania dziedziny

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]