Lemat Lallementa

Lemat Lallementa – twierdzenie teorii półgrup dotyczące możliwości podnoszenia elementów idempotentnych z półgrup ilorazowych danej półgrupy regularnej do wyjściowej półgrupy, opublikowane przez Gérarda Lallementa w 1966 roku.

Lemat Lallementa

Niech $\rho$ będzie kongruencją na półgrupie regularnej $S.$ Niech $x\rho$ oznacza klasę abstrakcji elementu $x$ względem relacji $\rho .$ Jeżeli $a\rho$ jest elementem idempotentnym w półgrupie ilorazowej $S/\rho ,$ to istnieje taki element idempotentny $e$ w $S,$ że $a\rho =e\rho .$ Ponadto, można $e$ wybrać tak, by $\mathrm {R} _{e}\leqslant \mathrm {R} _{a}$ oraz $\mathrm {L} _{e}\leqslant \mathrm {L} _{a}.$

Twierdzenie odwrotne do lematu Lallementa jest fałszywe. Istnieje wiele półgrup, które nie są regularne, ale spełniają tezę lematu Lallementa. W szczególności, spełnia ją każda półgrupa skończona.

Uogólnienie

Lemat Lallementa wynika wprost z następującego ogólniejszego stwierdzenia, w którym kongruencję $\rho$ zastępuje się przez równoważny jej homomorfizm.

Niech $\rho \colon S\to T$ będzie homomorfizmem półgrup oraz niech $a\in S$ będzie takim elementem, że $\rho (a)$ jest elementem idempotentnym w $T.$ Jeżeli $a^{2}$ ma uogólnioną odwrotność $x\in S,$ to element $axa\in S$ jest idempotentny oraz $\rho (axa)=\rho (a).$

Dowód

Ponieważ $x$ jest odwrotnością $a^{2},$ to (a) $aaxaa=aa$ oraz (b) $xaax=x.$ Oznacza to, na mocy (b), że

$(axa)(axa)=axaaxa=a(xaax)a=axa,$

tj. $axa$ jest elementem idempotentnym. Ponieważ $\rho (a)$ też jest elementem idempotentnym, zachodzi

$\rho (aa)=\rho (a)\rho (a)=\rho (a).$

Ostatecznie, z powyższego i (a),

$\rho (axa)=\rho (a)\rho (x)\rho (a)=\rho (aa)\rho (x)\rho (aa)=\rho (aaxaa)=\rho (aa)=\rho (a).$