Lemat Nakayamy

Lemat Nakayamy – lemat w algebrze przemiennej. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska japońskiego matematyka Tadashiego Nakayamy.

Sformułowanie

Każdy z podanych niżej lematów funkcjonuje w literaturze jako lemat Nakayamy.

Niech $A$ będzie pierścieniem przemiennym z 1 i niech $I$ będzie jego ideałem.

Lemat 1. Jeśli $M$ jest skończonym $A$-modułem spełniającym równość $M=IM,$ to istnieje element $a$ pierścienia $A,$ taki że $aM=0,$ oraz $a\equiv 1{\text{ mod }}I.$ Jeśli dodatkowo wiadomo, że ideał $I$ jest zawarty w radykale Jacobsona $A,$ to $M=0.$

Lemat 2. Załóżmy, że $I$ jest zawarty w radykale Jacobsona $A.$ Niech $M$ będzie $A$-modułem i niech $N$ będzie jego podmodułem, takim że $M/N$ jest skończony nad $A$ (tzn. $M/N$ jest skończenie generowanym $A$-modułem). Wówczas jeśli $M=N+IM,$ to $M=N.$

Dowód: Oznaczmy ${\overline {M}}=M/N.$ Mamy $I{\overline {M}}=(IM+N)/N=M/N={\overline {M}}.$ Zatem z lematu 1, ${\overline {M}}=0$ co oznacza, że $M=N.$

Lemat 3. Zakładamy, że ideał $I$ jest zawarty w radykale Jacobsona $A$ oraz że $M$ jest skończenie generowanym $A$ modułem. Jeśli obrazy elementów $m_{1},\dots ,m_{n}\in M$ w $M/IM$ generują $M/IM$ jako $A$-moduł, to elementy te generują $M$ jako $A$-moduł.

Dowód: Mamy $M=IM+\sum _{j}Rm_{j}.$ Stąd i z lematu 2 dostajemy tezę.