Pierścień przemienny

Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia).

Definicja

Szczegóły definicji pierścieni można znaleźć w artykule o pierścieniach.

Pierścień to zbiór $R\;$ wyposażony w dwa działania dwuargumentowe, tzn. działania, które dla dowolnych dwóch elementów dają trzeci, nazywane dodawaniem i mnożeniem, które zwykle oznaczane są plusem oraz kropką, np. $a + b\;$ oraz $a \cdot b.$ Aby dawały pierścień, działania te muszą spełniać pewne własności: pierścień musi być grupą abelową względem dodawania i półgrupą (albo monoidem w przypadku pierścienia z jedynką) względem mnożenia tak, by mnożenie było rozdzielne względem dodawania, tzn. $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c).$ Elementy neutralne dodawania i mnożenia są oznaczane odpowiednio $0$ oraz $1$ (ten ostatni, o ile istnieje, czyli w przypadku pierścienia z jedynką).

Jeśli mnożenie jest przemienne, tzn.

$a \cdot b = b \cdot a,$

to pierścień $R\;$ nazywa się przemiennym.

Przykłady

• Najważniejszym przykładem pierścienia przemiennego (z jedynką) jest pierścień liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia, który oznacza się literą $\mathbb Z$ (od niem. Zahlen, liczby).
• Dowolne ciało, jak np. ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, jest pierścieniem przemiennym.
• Jednym z prostszych przykładów pierścienia, który nie jest przemienny, jest zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych stopnia $2,$ z działaniami dodawania i mnożenia macierzy, gdyż na przykład:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$

• Pierścienie klas reszt modulo $n$ są przemienne dla dowolnego $n \in \mathbb N.$
• Jeżeli $R\;$ jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej $X\;$ o współczynnikach z $R\;$ wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień przemienny $R[X]\;$ nazywany pierścieniem wielomianów.
• Zbiór wszystkich liczb postaci $a + b \sqrt{5},$ gdzie $a\;$ i $b\;$ są dowolnymi liczbami całkowitymi.
• Twierdzenie Wedderburna: Każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne).