Metoda WKB

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda WKB (Wentzla-Kramersa-Brillouina) lub przybliżenie WKB – w mechanice kwantowej przybliżona metoda rozwiązywania równania Schrödingera polegająca na założeniu, że funkcja falowa jest lokalnie falą płaską zniekształconą przez obecność potencjału.

Niech stacjonarne równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez

 -\frac{\hbar^2}{ 2m} \frac{\partial^2 \psi}{ \partial x^2}+ V(x) \psi= E \psi

Dla V(x)=0 rozwiązaniami są fale płaskie dane przez

\psi=e^{ikx }\frac{}{}

Dla dowolnego potencjału V(x) można założyć podobną postać funkcji falowej, tzn.

\psi=e^{iS(x)/\hbar }\frac{}{}

czyli tak, jakby pęd k był lokalny i był funkcją położenia k(x)=S(x)/x

Zakładając ponadto

S(x)=S_0(x) + \hbar S_1(x) + ...

i zbierając wyrazy w najniższym rzędzie \hbar otrzymujemy układ równań

\left( \frac{\partial S_0}{ \partial x}\right )^2=2m [E-V(x)]
i \frac{\partial^2 S_0}{ \partial x^2} -  2\frac{\partial S_0}{ \partial x}\frac{\partial S_1}{ \partial x}=0

Z rozwiązaniami

\psi(x)=C e^{ \pm i\int^x \sqrt{2m [E-V(x)]}dx}/{[{2m (E-V(x))}]}^{1/4}   \quad   E>V(x)
\psi(x)=C e^{ \pm \int^x \sqrt{2m [V(x)-E]}dx}/{[{2m (V(x)-E)}]}^{1/4}    \quad   E<V(x)

Do wyznaczenia pozostają teraz energie które muszą byc dyskretne dla stanów związanych. Niech x_1, x_2 będą tzw. punktami powrotu tzn. punktami których nie mogłaby przekroczyć cząstka klasyczna o znikającej podczas oscylacji energii kinetycznej:

V(x_i)=E \frac{}{}

Na wzór najprostszej kwantyzacji atomu Bohra energie stanów związanych znajdujemy z warunku wartości całki lokalnego pędu \partial S_0(x) /\partial x po wymiarze liniowym x oscylatora harmonicznego zakładając że wszystkie potencjały są w sensie wartości tej całki harmoniczne tzn.

\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m [E_n-V(x)]}dx= \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m [E_{hn}-m \omega^2 x^2/2]}dx

a

E_{hn}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right ) są dokładnymi energiami oscylatora harmonicznego.

Całka ta dla oscylatora daje się łatwo policzyć ponieważ wyraża pole półkola o promieniu proporcjonalnym do energii E_{hn} i otrzymujemy dla dowolnego potencjału:

\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m [E_{n}-V(x)]}dx= \pi \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right ) \quad n=0,1,2 ...

Aby otrzymać energie stanów związanych w metodzie WKB należy:

  1. Wyznaczyć punkty powrotu jako funkcje energii E
  2. Obliczyć całkę pędu lokalnego w funkcji energii.
  3. Rozwiązać otrzymane równanie na energie E z warunku kwantyzacji.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński Teoria kwantów – mechanika falowa (PWN, 2001).