Metoda WKB

Metoda WKB (Wentzla-Kramersa-Brillouina) lub przybliżenie WKB – w mechanice kwantowej przybliżona metoda rozwiązywania równania Schrödingera polegająca na założeniu, że funkcja falowa jest lokalnie falą płaską zniekształconą przez obecność potencjału.

Niech stacjonarne równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez

$-\frac{\hbar^2}{ 2m} \frac{\partial^2 \psi}{ \partial x^2}+ V(x) \psi= E \psi$

Dla $V(x)=0$ rozwiązaniami są fale płaskie dane przez

$\psi=e^{ikx }\frac{}{}$

Dla dowolnego potencjału $V(x)$ można założyć podobną postać funkcji falowej, tzn.

$\psi=e^{iS(x)/\hbar }\frac{}{}$

czyli tak, jakby pęd k był lokalny i był funkcją położenia $k(x)=S(x)/x$

Zakładając ponadto

$S(x)=S_0(x) + \hbar S_1(x) + ...$

i zbierając wyrazy w najniższym rzędzie $\hbar$ otrzymujemy układ równań

$\left( \frac{\partial S_0}{ \partial x}\right )^2=2m [E-V(x)]$

$i \frac{\partial^2 S_0}{ \partial x^2} - 2\frac{\partial S_0}{ \partial x}\frac{\partial S_1}{ \partial x}=0$

Z rozwiązaniami

$\psi(x)=C e^{ \pm i\int^x \sqrt{2m [E-V(x)]}dx}/{[{2m (E-V(x))}]}^{1/4} \quad E>V(x)$

$\psi(x)=C e^{ \pm \int^x \sqrt{2m [V(x)-E]}dx}/{[{2m (V(x)-E)}]}^{1/4} \quad E<V(x)$

Do wyznaczenia pozostają teraz energie które muszą byc dyskretne dla stanów związanych. Niech $x_1$, $x_2$ będą tzw. punktami powrotu tzn. punktami których nie mogłaby przekroczyć cząstka klasyczna o znikającej podczas oscylacji energii kinetycznej:

$V(x_i)=E \frac{}{}$

Na wzór najprostszej kwantyzacji atomu Bohra energie stanów związanych znajdujemy z warunku wartości całki lokalnego pędu $\partial S_0(x) /\partial x$ po wymiarze liniowym $x$ oscylatora harmonicznego zakładając że wszystkie potencjały są w sensie wartości tej całki harmoniczne tzn.

$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m [E_n-V(x)]}dx= \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m [E_{hn}-m \omega^2 x^2/2]}dx$

a

$E_{hn}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right )$ są dokładnymi energiami oscylatora harmonicznego.

Całka ta dla oscylatora daje się łatwo policzyć ponieważ wyraża pole półkola o promieniu proporcjonalnym do energii $E_{hn}$ i otrzymujemy dla dowolnego potencjału:

$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{2m [E_{n}-V(x)]}dx= \pi \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right ) \quad n=0,1,2 ...$

Aby otrzymać energie stanów związanych w metodzie WKB należy:

1. Wyznaczyć punkty powrotu jako funkcje energii $E$
2. Policzyć całkę pędu lokalnego w funkcji energii.
3. Rozwiązać otrzymane równanie na energie $E$ z warunku kwantyzacji.

Literatura

• I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński Teoria kwantów – mechanika falowa (PWN, 2001).