Równanie Schrödingera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Stan kwantowy  · Funkcja falowa  · Superpozycja  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie
Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.

Postać ogólna[edytuj | edytuj kod]

Najbardziej ogólna postać równania Schrödingera (zależnego od czasu):

\hat H \big|\psi(t)\rangle = i \hbar \tfrac{\partial}{\partial t} \big|\psi(t)\rangle,

co w reprezentacji położeniowej przyjmuje postać:

\hat H \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \tfrac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t),

gdzie:

i to jednostka urojona,
\hbar jest stałą Plancka podzieloną przez 2π (nazywana niekiedy stałą Diraca, zredukowaną stałą Plancka lub h kreślonym),
\hat H jest operatorem energii całkowitej, tzw. hamiltonianem układu,
\big|\psi(t)\rangle jest wektorem stanu,
\psi(\mathbf{r}, t)= \langle \vec{r}\big|\psi(t)\rangle jest funkcją położenia i czasu, tzw. funkcją falową.

Równanie Schrödingera niezależne od czasu pozwala wyznaczyć stany, które w czasie ewolucji nie zmieniają się, poza przemnożeniem przez czynnik \exp\left(-\frac{i}{\hbar} E_n t\right). Wygląda ono następująco (w reprezentacji położeniowej):

\hat{H} \psi (r) = E \psi (r).

Reprezentacja położeniowa dotyczy problemów, gdy rozważamy ruch cząstek w przestrzeni. Możliwe są hamiltoniany nieodwołujące się do reprezentacji położeniowej, których przykładem mogą być np. hamiltoniany spinowe. Dla nich równanie Schrödingera zależnego od czasu nie ma formy w reprezentacji położeń, jedynie reprezentację macierzową, przykładowo hamiltonian elektronu w jednorodnym polu magnetycznym można przedstawić jako:

\hat H \big|\psi(t) = -\mu \vec B\cdot \sigma,

gdzie \vec\sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) jest wektorem złożonym z macierzy Pauliego.

Teoria widma dyskretnego[edytuj | edytuj kod]

Konieczność kwantyzacji układów fizycznych na początku 20-tego wieku wynikła z nowych odkryć doświadczalnych, że mierzalne energie układów fizycznych jak atomy (prążki widmowe), fotony (ciało doskonale czarne) lub energie jonów w ciałach stałych (ciepło właściwe) nie przyjmują dowolnej wartości a jedynie wartości dyskretne. Okazuje się, że energie układów fizycznych stanów związanych są dyskretne, ponieważ są miejscami zerowymi wielomianów (charakterystycznych) i ich liczba jest równa ich rzędowi. Zapisane w bazie stacjonarne równanie Schrödingera przebiera postać macierzową

H_{\mu}^{\nu}c_{\nu}=E c_{\mu}
H_{\mu}^{\nu}=\langle\mu|H|\nu\rangle

Równanie to jest układem równań liniowych n-tego rzędu

(H_{\mu}^{\nu}-E \delta_{\mu}^{\nu})c_{\nu}=0

ze znikającą prawą stroną istnienie rozwiązania, którego zależy od parametru E. Równanie to ma więc rozwiązania jedynie wtedy, kiedy wyznacznik główny jest równy zero

\det({\mathbf H}-E {\mathbf  I})=0

W przeciwnym przypadku ma jedynie trywialne rozwiązanie zerowe c_{\mu}=0. Zerowanie się wyznaczynika to z jego konstrukcji (rekurencyjne mnożenie podwyznaczników) równanie wielomianowe n-tego rzędu i dlatego w przypadku macierzy hermitowskiej ma dokładnie n pierwiastków rzeczywistych E_i, a więc przewiduje w ten sposób dyskretyzacje energii.

Praktyczne równania[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian układu jest sumą dwóch operatorów, jeden jest operatorem energii kinetycznej\hat T, a drugi energii potencjalnej. Dla pojedynczej nierelatywistycznej cząstki (v<<c) o masie m pozbawionej ładunku elektrycznego i spinu, energia kinetyczna ma postać:

\hat T=\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m},

gdzie \hat {\mathbf p} jest operatorem pędu, zdefiniowanym w następujący sposób:

\hat {\mathbf{p}} \psi(\mathbf{r}, t) \equiv - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{r}, t).

Energia potencjalna jest rzeczywistą funkcją skalarną, V = V(r). Łącząc wszystko razem, uzyskujemy równanie Schrödingera zależne od czasu:

\hat H \psi(\mathbf{r}, t) = \left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi (\mathbf{r}, t),

gdzie \nabla^2=\Delta to operator Laplace’a (tzw. laplasjan). Jest to najczęściej spotykana postać równania Schrödingera, jednak nie najbardziej ogólna. Powyższe równanie jest cząstkowym równaniem różniczkowym, nazywanym też falowym równaniem Schrödingera. Dokonując rozdzielenia zmiennych uzyskujemy równanie Schrödingera niezależne od czasu. Równanie to stosuje się do tzw. stanów stacjonarnych (tj. takich w których energia nie zmienia się w czasie) i ma ono postać:

-\frac{\hslash ^2}{2m}\Delta \psi(\mathbf{r}) +V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}),

gdzie E jest energią układu. Podane równanie jest równaniem własnym energii. Rozwiązaniem równania własnego są funkcje własne \psi(\mathbf{r}) i wartości własne E.

Równanie Schrödingera dla cząstki o ładunku q i masie spoczynkowej m w polu elektrycznym \overrightarrow{E} = - \nabla \varphi i magnetycznym \overrightarrow{B} = \nabla \times \overrightarrow{A} ma postać:

\left[\frac{1}{2m}(-i\hbar \nabla -q\overrightarrow{A})^{2} + q\varphi \right]\psi(\overrightarrow{r})= E\psi(\overrightarrow{r}).

Rozwiązania[edytuj | edytuj kod]

Analityczne rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera jest możliwe tylko w najprostszych przypadkach. Jednak te najprostsze sytuacje pozwalają nam zagłębić się w naturę zjawisk kwantowych, a niejednokrotnie są one przybliżeniem bardziej złożonych zjawisk. Kilka najbardziej typowych modeli pozwalających rozwiązać się analitycznie to:

Jednak dla wielu układów (np.: wielu orbitali atomowych) nie istnieje analityczne rozwiązanie, w takich przypadkach należy stosować przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych, wśród których najpopularniejsze to:

Twierdzenie oscylacyjne[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie oscylacyjne mówi, że dla jednowymiarowej jamy potencjału (n+1)-sze rozwiązanie odpowiadające stanowi związanemu (funkcja falowa \psi_n) ma n miejsc zerowych dla skończonego x (A więc funkcja falowa stanu podstawowego \psi_0 nie ma miejsc zerowych). Wynika stąd brak degeneracji[1].

Prąd prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

W celu opisania rozwiązań niestacjonarnych, tj. takich w których gęstość prawdopodobieństwa zmienia się w czasie, wprowadza się pojęcie gęstości prądu prawdopodobieństwa. Gęstość prądu prawdopodobieństwa opisuje płynięcie prawdopodobieństwa w przestrzeni. Dla przykładu rozważymy falowy pakiet opisany za pomocą krzywej Gaussa. Krzywa ta jest rozmieszczona wokół punktu x0. Wyobraźmy sobie, że punkt ten porusza się z prędkością v wzdłuż osi x w prawo, oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki też przesuwa się w prawo, a tym samym kierunek gęstości prądu prawdopodobieństwa ma zwrot w prawą stronę. W języku matematyki wygląda to tak:

Gęstość prądu prawdopodobieństwa j jest zdefiniowana następująco:

\mathbf{j} = {\hbar \over m} \cdot {1 \over {2 i}} \left( \psi ^{*} \nabla \psi - \psi \nabla \psi^{*} \right) = {\hbar \over m} \Im \left( \psi ^{*} \nabla \psi \right)

i jest mierzone w jednostkach (prawdopodobieństwo)/(powierzchnia*czas) = r−2t−1. Gęstość prądu prawdopodobieństwa spełnia równanie ciągłości:

\nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x, t),

gdzie P(x,t)=|ψ|² jest gęstością prawdopodobieństwa mierzoną w jednostkach (prawdopodobieństwo)/(objętość) = r−3. Powyższe równanie jest zasadą zachowania prawdopodobieństwa. Łatwo wykazać, że dla fali płaskiej opisanej równaniem:

| \psi \rang = A e^{ i k x} e^{ - i \omega t} gęstość prądu prawdopodobieństwa wynosi
j(x, t) = |A|^2 {k \hbar \over m}.

Znaczenie równania[edytuj | edytuj kod]

Funkcja własna będąca rozwiązaniem równania Schrödingera nosi nazwę funkcji falowej. Funkcja falowa, w najogólniejszej postaci funkcja zespolona, nie ma bezpośredniego sensu fizycznego. Dopiero jej kwadrat interpretujemy jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki. Powyższa interpretacja pochodzi od niemieckiego fizyka Maxa Borna, który podał ją w 1926 roku. Funkcja falowa \psi(\mathbf{r}) reprezentuje stan kwantowy układu fizycznego | \psi \rang w przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem (L^2,) gdzie iloczyn skalarny zdefiniowany jest jako

\lang \psi | \phi \rang =\int d^3\mathbf{x} \psi^{*}(\mathbf{x})\phi(\mathbf{x}).

Równanie Schrödingera jest równaniem nierelatywistycznym, nie uwzględnia kreacji ani anihilacji cząstek, a pominięcie promieniowania sprawia, że np. wzbudzone stany atomu wodoru są rozwiązaniami stacjonarnymi, mimo że w rzeczywistości jest to prawdą tylko w przybliżeniu[2]. Z połączenia szczególnej teorii względności z mechaniką kwantową wynika równanie Kleina-Gordona (nie uwzględnia ono spinu cząstki) i bardziej ogólne równanie Diraca (w którym spin jest uwzględniony).

Równanie Schrödingera dla fotonu jest jeszcze inne. Funkcją falową fotonu jest nie skalarna funkcja zespolona (lub spinor), ale wektor Riemanna-Silbersteina, a Hamiltonian dla fotonu nie zawiera operatora Laplace’a, ale operator pędu zrzutowany na wektor spinu o długości 1.

Równanie Schrödingera jest podstawą jednego z trzech równoważnych sformułowań mechaniki kwantowej. Jedno z nich to mechanika macierzowa (historycznie pierwsza) sformułowana przez Wernera Heisenberga. Trzecim jest sformułowanie mechaniki kwantowej w języku całek po trajektoriach (są to całki funkcjonalne, czyli całki z funkcjonału), której autorem jest Richard Feynman.

Równanie Schrödingera jest także podstawą współczesnej chemii. Wszelkie własności atomów i molekuł można otrzymać, obliczając stosowne dla nich równanie Schrödingera, jednak wymaga to znacznych mocy obliczeniowych. Fakt ten jest jedną z kluczowych tez przemawiających za redukcjonizmem, co często wyrażane jest stwierdzeniem, że chemia daje się zredukować do fizyki.

Przypisy

  1. §22. Ogólne własności rozwiązań równania Schrödingera. W: Lev Davidovič Landau: Mechanika kwantowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980, s. 78. ISBN 83-01-02197-7.
  2. Eyvind H. Wichmann: Fizyka kwantowa. Warszawa: PWN, 1973, s. 293, 345.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem I, „Annalen der Physik” nr 79 (1926), s. 361-376.
  2. Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem II, „Annalen der Physik” nr 79 (1926), s. 489-527.
  3. Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem III, „Annalen der Physik” nr 80 (1926), s. 734-756.
  4. Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem IV, „Annalen der Physik” nr 81 (1926), s. 109-139.