Kwantowy oscylator harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Cząsteczka HCl jako oscylator kwantowy drgający na poziomie energii E3. Energia jest skwantowana, tzn. może przyjmować tylko skokowe wartości E0, E1... D0 jest energią dysocjacji, r0 średnią odległością atomów, U energią potencjalną ich ruchu oscylacyjnego. Atom wodoru umieszczono w początku układu współrzędnych, aby pokazać zmiany średniej odległości atomów na krzywej.

Kwantowy oscylator harmoniczny – układ fizyczny rozmiarów atomowych lub subatomowych (np. jon w sieci krystalicznej lub w cząsteczka gazu) wykonujący ruch drgający (oscylacyjny) pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi. Właściwy opis ruchu wymaga zastosowania mechaniki kwantowej, co sprowadza się do znalezienia rozwiązań równania Schrödingera. Dowodem eksperymentalnym konieczności zastosowania mechaniki kwantowej do opisu właściwości mikroskopowych układów drgających jest np. nieciągłe widmo promieniowania emitowane przez drgające cząsteczki. Makroskopowym odpowiednikiem oscylatora kwantowego jest klasyczny oscylator harmoniczny, którym jest ciało makroskopowe o stosunkowo dużej masie, zawieszone np. na sprężynie i wykonujące drgania; do opisu jego ruchu wystarczająca jest mechanika klasyczna. Pojęcie oscylatora ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki klasycznej i kwantowej.

Klasyczny oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Klasyczny oscylator harmoniczny – to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia x ciała od stanu równowagi i mająca przeciwny zwrot

F=-kx,

gdzie k jest stałą wielkością (tzw. stałą sprężystości). Przykładem oscylatora harmonicznego jest ciało na sprężynie, wykonujące niewielkie drgania od położenia równowagi, co zapewnia słuszność założenia o proporcjonalności siły do wychylenia (dla dużych wychyleń założenie to nie byłoby słuszne). Układ drgający ma energię potencjalną:

U(x)=\frac{1}{2}k x^2=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2,

która jest tym większa, im większe jest rozciągnięcie sprężyny ( \omega=\sqrt {k/m} jest cząstotliwością kołową ruchu drgającego). Energia całkowita układu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej

E=\frac{p^2}{2m} + U(x),

gdzie p=mv oznacza pęd ciała drgającego w położeniu x. Całkowita energia układu drgającego harmonicznie nie ulega zmianie w czasie, mimo że energia potencjalna zamienia się cyklicznie w energię kinetyczną i odwrotnie, kinetyczna przechodzi w potencjalną.

Kwantowy oscylator harmoniczny – przypadek stałej energii drgań.[edytuj | edytuj kod]

W mechanice kwantowej do opisu ruchu układów fizycznych stosuje się zamiast równania Newtona równanie Schrödingera. Konkretna jego postać zależy od opisywanej sytuacji fizycznej. Jedną z metod znalezienia postaci równania Schrödingera w konkretnych przypadkach jest tzw. metoda kwantowania, polegająca na zamianie w równaniach ruchu mechaniki klasycznej pędu ciała \hat p na operator pędu. Współrzędne położenia ciała, np. x , pozostawia się przy tym bez zmian (nadając mu teraz nazwę operatora położenia). (Słuszność tej metody uzasadnia fakt, że otrzymane za jej pomocą równania dają przewidywania zgodne z wynikami eksperymentów). W przypadku ruchu jednowymiarowego operator pędu ma postać

\hat p= - i\hbar\frac{d}{dx}

Ponieważ interesuje nas opis stanu układu w zależności od współrzędnych x, dlatego musimy znaleźć jawną postać równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej, przy czym dla uproszczenia założymy, że energia układu jest niezmienna. (Podobnie zakłada się rozwiązując zagadnienie poziomów energetycznych atomu wodoru). Jest to uzasadnione, jeżeli układ drgający pozostaje dłuższy czas w izolacji o otoczenia. Dlatego stosujemy równanie równanie Schrödingera niezależne od czasu

\hat H \Psi(x, t) = E\ \Psi(x, t).

gdzie  E
oznacza energię układu. Pozostaje znalezienie jawnej postaci operatora Hamiltona \hat H . W tym celu do wyrażenia na energię całkowitą E oscylatora klasycznego (patrz wyżej) w miejsce klasycznego pędu p operator pędu \hat p podstawia się:

\hat H = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2

Ostatecznie, podstawiając wyrażenie na opertor pędu dostaniemy:

\hat H = \frac{{-\hbar}^2}{2m}
\frac{d^2}{d x^2}
 + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2

Równanie Schrödingera przyjmuje więc postać

\frac{{-\hbar}^2}{2m}
\frac{d^2}{d x^2}\psi(x)
 + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2\psi(x)=E\psi(x)

Rozwiązanie tego równania daje rozwiązania zbiór możliwych funkcji falowych

  \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{
- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad n = 0,1,2,\ldots.

gdzie

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)

wielomianami Hermita.

Stany powyższe są stanami stacjonarnymi, tj. o stałych wartościach energii, które wnoszą odpowiednio

 E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right) , n=0,1,2...

Widać, że układ kwantowy drgający harmonicznie przyjmuje tylko wyróżnione wartości energii, czym różni się od układu klasycznego (makroskopowego) – ten ostatni może drgać mając dowolną wartość energii.

Ponieważ drgające układy mikroskopowe faktycznie przyjmują dyskretne poziomy energii, widoczne się staje, że teoria Schrödingera dostarcza właściwego ich opisu.

Bozonowy oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Potencjał oscylatora harmonicznego (niebieska parabola) i kilka pierwszych stanów własnych energii.

Rozwiązanie równania Schrödingera dla oscylatora harmonicznego można uprościć zastępując operatory  x, \hat p operatorami anihilacji a oraz kreacji a^{\dagger}

a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x + i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}\hat p),

a^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x - i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}\hat p)

Operatory położenia  x i pędu \hat p wyrażone przez te operatory mają postać

x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^{\dagger}),

 \hat p = i\sqrt{\frac{m \omega\hbar}{2}}(a^{\dagger}-a).

Operator Hamiltona przyjmuje teraz postać

\hat H=\frac{1}{2}\hbar \omega (a^{\dagger} a + a a^{\dagger})

Wprowadzając tzw. operator liczby cząstek N= a^{\dagger} a i wiedząc, że komutator operatorów wynosi

[a,a^\dagger]=1, Hamiltonian przekształca się do postaci

\hat H=\hbar \omega (N + \frac{1}{2})=\hbar \omega N + E_0

gdzie E_0=\frac{1}{2}\hbar \omega jest energią stanu podstawowego. Hamiltonian ma całą wiele stanów własnych

\hat H|n\rang =E_n|n\rang

z energiami własnymi

E_n=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0

i stanami własnymi

|n\rang =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^{n}|0\rang.

Stan podstawowy |0\rang zdefiniowany jest jako stan, który jest zerowany przez operator anihilacji

a|0\rang =0.

W tradycyjnym zapisie stan |n\rang opisuje funkcję falową \psi_n(x). Równanie a|0\rang=0 (lub a\psi_0(x)=0) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

\psi_{0} = C_{0}\exp\Bigg(\!\!-{\frac{x^2}{2x_0^2}}\Bigg)

gdzie x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}.

Za pomocą operatorów kreacji a^\dagger można utworzyć funkcje falowe stanów wzbudzonych:

\psi_n (x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^{n}\psi_0(x)=C_n H_n(\frac{x}{x_0})\psi_0(x)

gdzie

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.

wielomianami Hermite'a, a C_n oznacza stałą normalizacyjną.

Algebra Heisenberga[edytuj | edytuj kod]

Powyżej zdefiniowane operatory tworzą grupę operatorów

X_i=\{I,a,a^\dagger, N\}

Grupa ta rozpina algebrę Heisenberga o następujących komutatorach

[a,a^\dagger]=1,

[a,a]=[a^{\dagger},a^{\dagger}]=0,

[N,a]= - a,

[N,a^{\dagger}]=a^{\dagger},

[I,X_i]=0, przy czym przez komutator rozumiemy następujące działanie [A,B]=A B - B A.

Fermionowy oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem

H=\frac{1}{2}\hbar \omega(c^\dagger c - c c^\dagger )

Operatory X_i=\{I,c,c^\dagger,N=c^\dagger c\} rozpinają algebrę gradowaną o następujących związkach:

\{c,c^\dagger\}=1,
\{c,c\}=\{c^\dagger,c^\dagger\}=0,
[N,c]= - c,
[N,c^\dagger]=c^\dagger,
[I,X_i]=0.

Hamiltonian ten można przekształcić do postaci

H=\hbar \omega(N - \frac{1}{2})=\hbar \omega N + E_0,

gdzie E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega jest energią stanu podstawowego.

Reguła komutacyjna \{c^\dagger,c^\dagger\}=0 wyraża zakaz Pauliego: Fermionowy oscylator harmoniczny istnieje tylko w stanie próżni |0\rang lub w pierwszym stanie wzbudzonym |1\rang=c^\dagger|0\rang. Drugi stan wzbudzony |2\rang=(c^\dagger)^2|0\rang nie istnieje, bo z reguł antykomutacyjnych wynika, iż (c^\dagger)^2=0 (czyli |2\rang=(c^\dagger)^2|0\rang=0). Dozwolonym stanom odpowiadają dwie wartości własne operatora energii E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega oraz E_1= \frac{1}{2}\hbar\omega.

Supersymetria[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian bozonowy i fermionowy mają łącznie dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi – nosi ona nazwę supersymetri, a opisuje ją wzór:

H= \frac{1}{2} \hbar \omega ( \{ a^\dagger,a \}+[c^\dagger,c]).

Generowana jest przez operatory: Q= \sqrt{2 \omega}a^\dagger c, Q^\dagger= \sqrt{2 \omega}c^\dagger a, które spełniają relację:

\{ Q,Q^\dagger \}=2 H .

Ta własność jest podstawą konstrukcji supersymetycznej teorii pola.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

R. L. Liboff: Wstęp do mechaniki kwantowej. Warszawa: PWN, 2013, s. 164–180.