Miara zespolona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara zespolona – szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar zespolonych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha – gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \mathcal{F} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru M, to funkcję \nu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{C}, spełniającą warunek

\nu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)

dla każdego ciągu (A_n)_{n\in\mathbb{N}} zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała \mathfrak{M}, nazywamy miarą zespoloną.

Postać biegunowa[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \nu\colon \mathcal{F} \to \mathbb{C} jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru M, to istnieje wówczas funkcja mierzalna h taka, że |h(x)|=1 dla x\in M oraz d\nu=hd|\nu|, gdzie |\nu| oznacza wahanie miary zespolonej \nu.

Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym 1, równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary \nu.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, ISBN 83-01-05124-8