Funkcja mierzalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja mierzalna – w matematyce, a dokładniej w teorii miary, funkcje zachowujące strukturę przestrzeni mierzalnych; jako takie stanowią one naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue'a). Dokładniej, funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.

Definicja ta wydaje się być prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane \sigma-algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji f\colon \mathbb R \to \mathbb R mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja f\colon (\mathbb R, \mathfrak L) \to (\mathbb R, \mathfrak B), tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się \sigma-algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj \mathfrak L oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zaś \mathfrak B jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue'a.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrą borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Przykładowo funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. W praktyce niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej[1].

Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.

Szczególne przypadki[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Suma i iloczyn dwóch funkcji mierzalnych (a więc i ich kombinacje liniowe) o wartościach zespolonych są mierzalne[2]. Mierzalny jest także ich iloraz, o ile nie występuje dzielenie przez zero[1].
  • Jeżeli funkcja f jest \mathfrak M_1/\mathfrak M_2-mierzalna, a funkcja g jest \mathfrak M_2/\mathfrak N-mierzalna, to ich złożenie g \circ f jest \mathfrak M_1/\mathfrak N-mierzalne[1][3], gdzie sformułowanie „funkcja \mathfrak M_1/\mathfrak M_2-mierzalna” oznacza, że mierzalna jest funkcja f\colon (X, \mathfrak M_1) \to (Y, \mathfrak M_2). Innymi słowy złożenie funkcji mierzalnych jest mierzalne, o ile tylko odpowiednie \sigma-algebry do siebie pasują (zob. kontrprzykład funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a we wstępie).
  • (Punktowe) kresy dolny i górny (infimum i supremum) oraz granice dolna i górna (limes inferior i superior) ciągu funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych także są funkcjami mierzalnymi[1][4]. Mierzalne są także funkcje minimum i maksimum.
  • Granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna (odpowiednie twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych wymaga założeń silniejszych niż zbieżność punktowa, przykładowo zbieżności jednostajnej).

Funkcje niemierzalne[edytuj | edytuj kod]

Spotykane w zastosowaniach funkcje o wartościach rzeczywistych są zwykle mierzalne; jednak nietrudno wskazać funkcje niemierzalne.

  • O ile tylko istnieją zbiory niemierzalne przestrzeni mierzalnej, to istnieją także funkcje niemierzalne na niej określone. Jeżeli (X, \mathfrak M) jest pewną przestrzenią mierzalną, a A \subset X jest zbiorem niemierzalnym, tj. A \notin \mathfrak M, to funkcja charakterystyczna zbioru \mathbf 1_A\colon (X, \mathfrak M) \to \mathbb R jest niemierzalna (gdzie \mathbb R wyposażona jest w zwyczajową σ-algebrę borelowską), ponieważ przeciwobrazem zbioru mierzalnego \{1\} jest zbiór niemierzalny A.
  • Funkcja stała jest mierzalna względem dowolnej σ-algebry. Dowolna funkcja, która nie jest stałą, może być przekształcona w niemierzalną poprzez wyposażenie dziedziny i przeciwdziedziny w odpowiednie \sigma-algebry. Jeżeli f\colon X \to \mathbb R jest dowolną niestałą funkcją o wartościach rzeczywistych, to f jest niemierzalna, jeśli wyposażyć X w algebrę antydyskretną \mathfrak M = \{0, X\}, gdyż przeciwobrazem dowolnego punktu obrazu jest pewien właściwy, niepusty podzbiór X, który nie należy do \mathfrak M.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Robert Strichartz: The Way of Analysis. Jones and Bartlett, 2000. ISBN 0-7637-1497-6.
  2. Gerald B. Folland: Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley, 1999. ISBN 0471317160.
  3. Patrick Billingsley: Probability and Measure. Wiley, 1995. ISBN 0-471-00710-2.
  4. H. L. Royden: Real Analysis. Prentice Hall, 1988. ISBN 0-02-404151-3.