Funkcja mierzalna

Funkcja mierzalna – w matematyce, a dokładniej w teorii miary, funkcje zachowujące strukturę przestrzeni mierzalnych; jako takie stanowią one naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue'a). Dokładniej, funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.

Definicja ta wydaje się być prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane $\sigma$-algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja $f\colon (\mathbb R, \mathfrak L) \to (\mathbb R, \mathfrak B),$ tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się $\sigma$-algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj $\mathfrak L$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zaś $\mathfrak B$ jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue'a.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrą borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Przykładowo funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. W praktyce niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej.

Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.

Szczególne przypadki

• Jeżeli $(X, \mathfrak M)$ oraz $(Y, \mathfrak N)$ są przestrzeniami borelowskimi, to funkcja mierzalna $f\colon (X, \mathfrak M) \to (Y, \mathfrak N)$ bywa nazywana funkcją borelowską. Funkcje ciągłe są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest niemal funkcją ciągłą, o czym mówi twierdzenie Łuzina. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia $Y\stackrel{\pi}{\to} X,$, to nazywa się je cięciem borelowskim.
• funkcja mierzalna w sensie Lebesgue'a to funkcja mierzalna $f\colon (\mathbb R, \mathfrak L) \to (\mathbb C, \mathfrak B_\mathbb C),$ gdzie $\mathfrak L$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, zaś $\mathfrak B_\mathbb C$ to σ-algebra borelowska liczb zespolonych $\mathbb C.$ Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue'a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich całkowalności.
• Zmienne losowe definiuje się jako funkcje mierzalne określone na przestrzeniach próbek (zdarzeń elementarnych).

Własności

• Suma i iloczyn dwóch funkcji mierzalnych (a więc i ich kombinacje liniowe) o wartościach zespolonych są mierzalne. Mierzalny jest także ich iloraz, o ile nie występuje dzielenie przez zero.
• Jeżeli funkcja $f$ jest $\mathfrak M_1/\mathfrak M_2$-mierzalna, a funkcja $g$ jest $\mathfrak M_2/\mathfrak N$-mierzalna, to ich złożenie $g \circ f$ jest $\mathfrak M_1/\mathfrak N$-mierzalne, gdzie sformułowanie „funkcja $\mathfrak M_1/\mathfrak M_2$-mierzalna” oznacza, że mierzalna jest funkcja $f\colon (X, \mathfrak M_1) \to (Y, \mathfrak M_2).$ Innymi słowy złożenie funkcji mierzalnych jest mierzalne, o ile tylko odpowiednie $\sigma$-algebry do siebie pasują (zob. kontrprzykład funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a we wstępie).
• (Punktowe) kresy dolny i górny (infimum i supremum) oraz granice dolna i górna (limes inferior i superior) ciągu funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych także są funkcjami mierzalnymi. Mierzalne są także funkcje minimum i maksimum.
• Granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna (odpowiednie twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych wymaga założeń silniejszych niż zbieżność punktowa, przykładowo zbieżności jednostajnej).

Funkcje niemierzalne

Spotykane w zastosowaniach funkcje o wartościach rzeczywistych są zwykle mierzalne; jednak nietrudno wskazać funkcje niemierzalne.

• O ile tylko istnieją zbiory niemierzalne przestrzeni mierzalnej, to istnieją także funkcje niemierzalne na niej określone. Jeżeli $(X, \mathfrak M)$ jest pewną przestrzenią mierzalną, a $A \subset X$ jest zbiorem niemierzalnym, tj. $A \notin \mathfrak M,$ to funkcja charakterystyczna zbioru $\mathbf 1_A\colon (X, \mathfrak M) \to \mathbb R$ jest niemierzalna (gdzie $\mathbb R$ wyposażona jest w zwyczajową σ-algebrę borelowską), ponieważ przeciwobrazem zbioru mierzalnego $\{1\}$ jest zbiór niemierzalny $A.$
• Funkcja stała jest mierzalna względem dowolnej σ-algebry. Dowolna funkcja, która nie jest stałą, może być przekształcona w niemierzalną poprzez wyposażenie dziedziny i przeciwdziedziny w odpowiednie $\sigma$-algebry. Jeżeli $f\colon X \to \mathbb R$ jest dowolną niestałą funkcją o wartościach rzeczywistych, to $f$ jest niemierzalna, jeśli wyposażyć $X$ w algebrę antydyskretną $\mathfrak M = \{0, X\},$ gdyż przeciwobrazem dowolnego punktu obrazu jest pewien właściwy, niepusty podzbiór $X,$ który nie należy do $\mathfrak M.$

Zobacz też

• funkcja klasy Baire'a
• funkcja całkowalna
• przestrzenie liniowe funkcji mierzalnych: przestrzenie $L^p$
• układ dynamiczny zachowujący miarę

Bibliografia

• Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986. 
• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979. 
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.