Przestrzeń mierzalna

Przestrzeń mierzalna – zbiór z określoną rodziną jego podzbiorów (tzw. $\sigma$-ciałem, $\sigma$-algebrą zbiorów) do której należy zbiór pusty oraz dopełnienia wszystkich jej elementów, a ponadto należy do niej suma dowolnej przeliczalnej rodziny jej elementów. Przestrzenie mierzalne / $\sigma$-ciała są obiektami studiowanymi w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Wprowadzenie

Już we wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że przy założeniu aksjomatu wyboru istnieją zbiory na prostej rzeczywistej, dla których nie można określić miary Lebesgue'a; przykładem takiego zbioru jest zbiór Vitalego. Później odkryto, że odrzucenie aksjomatu wyboru, a przyjęcie aksjomatu determinacji gwarantuje mierzalność wszystkich podzbiorów $\mathbb R$ (twierdzenie Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego). Stwierdzono również, że odpowiednie aksjomaty dużych liczb kardynalnych mogą dostarczyć sposobów mierzenia wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Z różnych powodów tego typu dodatkowe założenia mogą nie być pożądane, należy wówczas zaakceptować, że mogą istnieć zbiory tak dziwne, że określenie ich wielkości (tzn. miary) nie jest możliwe. Na ogół takie zbiory nie pojawiają się „nieproszone” i w praktyce matematycznej wystarczające okazuje się ograniczenie do dobrych zbiorów, które powinny być zamknięte na jak najszerszą klasę podstawowych operacji. Za takie uważa się przekrój, sumę, czy też dopełnienie (z tego też powodu w teorii miary większy nacisk kładzie się na operację brania przeciwobrazu, który zachowuje te operacje w przeciwieństwie do operacji brania obrazu; zob. funkcja mierzalna). Z tego powodu zbiór skonstruowany z dobrych zbiorów za pomocą wspomnianych operacji również powinien być dobry. Zaakceptowanie poprzedniego stwierdzenia oznacza (na podstawie zasady indukcji) przyzwolenie na konstruowanie dobrych zbiorów ze skończonej liczby zbiorów połączonych wspomnianymi trzema działaniami. Rodziny tego rodzaju były badane, lecz rezultaty okazały się mało istotne. Dopiero rozszerzenie definicji poprzez zezwolenie na działania nieskończone, ale przeliczalne, doprowadziło do rozkwitu wspomnianych wyżej dziedzin. Pojęcie $\sigma$-ciała może być uznane za abstrakcyjną definicję opisanej wyżej rodziny dobrych zbiorów.

Definicje

Jeżeli $X$ jest ustalonym zbiorem, to rodzinę $\mathcal{F}$ złożoną z jego podzbiorów nazywa się $\sigma$-ciałem (podzbiorów zbioru $X$), gdy $\mathcal{F}$ jest przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów zbioru $X$, tzn.

• zbiór pusty należy do $\mathcal F\colon$

$\varnothing \in \mathcal F;$

• dopełnienie zbioru należącego do $\mathcal F$ należy do $\mathcal F\colon$

$A \in \mathcal F \Rightarrow X \setminus A \in \mathcal F;$

• suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do $\mathcal F$ należy do $\mathcal F\colon$

$A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal F.$

$\sigma$-ciała są też czasami nazywane $\sigma$-algebrami zbiorów. $X$ z $\sigma$-ciałem $\mathcal{F}$, tzn. parę $(X, \mathcal F)$ nazywa się przestrzenią mierzalną. Przestrzeń (mierzalna) z miarą to trójka uporządkowana $(X, \mathcal F, \mu)$, gdzie $(X, \mathcal F)$ jest przestrzenią mierzalną, a

$\mu\colon \mathcal F \to [0, \infty]$

jest (σ-addytywną) miarą. Przestrzeń (mierzalną) z miarą probabilistyczną nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności

Ponieważ każde $\sigma$-ciało jest zamknięte na przekroje przeliczalne, to przekrój dowolnej rodziny $\sigma$-ciał na $X$ jest znów $\sigma$-ciałem zbiorów. Dowodzi się, że dla dowolnej rodziny $\mathcal A$ podzbiorów zbioru $X$ istnieje najmniejsze $\sigma$-ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywa się je $\sigma$-ciałem generowanym przez tę rodzinę i oznacza symbolem $\sigma(\mathcal A)$ bądź $\langle \mathcal A \rangle$. Niech $\mathcal F$ będzie $\sigma$-ciałem podzbiorów $X,$ a $\mathcal I$ będzie $\sigma$-ideałem podzbiorów $X$. Wówczas $\sigma$-ciałem generowanym przez $\mathcal F \cup \mathcal I$ jest zbiór

$\sigma(\mathcal F \cup \mathcal I) = \left\{A \triangle B\colon A \in \mathcal F \and B \in \mathcal I\right\},$

gdzie $\triangle$ oznacza operację różnicy symetrycznej.

Przykłady

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów $X$ są $\sigma$-ciałami na $X$:

• rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru $X$ – jest to najmniejsze $\sigma$-ciało określone na $X,$
• rodzina wszystkich podzbiorów zbioru $X$ – jest to z kolei największe $\sigma$-ciało na danym zbiorze,
• rodzina $\mathcal F_A = \{\varnothing, X, A, X \setminus A\}$ dla dowolnego $A \subseteq X,$
• każde skończone ciało podzbiorów $X$.

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas elementy $\sigma$-ciała $\sigma(\tau)$ nazywa się zbiorami borelowskimi przestrzeni $X$.

• Niech $\mathcal B$ będzie $\sigma$-ciałem podzbiorów borelowskich prostej rzeczywistej $\mathbb R,$ a $\mathcal L$ oznacza $\sigma$-ideał zbiorów miary zero (w sensie Lebesgue'a), zaś $\mathcal K$ będzie $\sigma$-ideałem zbiorów pierwszej kategorii (w sensie Baire'a). Wówczas

$\sigma(\mathcal B \cup \mathcal L) = \{G \triangle L\colon L \in \mathcal L \and G$ jest zbiorem typu G_δ$\}$ jest $\sigma$-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a

oraz

$\sigma(\mathcal B \cup \mathcal K) = \{O \triangle K\colon K \in \mathcal K \and O$ jest zbiorem otwartym$\}$ jest $\sigma$-ciałem zbiorów o własności Baire'a.

Jeśli $\lambda$ jest miarą Lebesgue'a na prostej, to $(\mathbb R, \sigma(\mathcal B \cup \mathcal L), \lambda)$ jest przestrzenią z miarą.

Bibliografia

• Paul Halmos: Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., 1950.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.

Zobacz też

• funkcja mierzalna
• algebra Boole'a
• klasa monotoniczna
• zbiór borelowski