Modele proporcjonalnego hazardu

Modele proporcjonalnego hazardu to gałąź statystycznej analizy przeżycia, pozwalającej na przewidywanie czasu do wystąpienia jakiegoś zdarzenia, np. śmierci, znalezienia pracy, lub awarii urządzenia.

Założenie proporcjonalnego hazardu

Na potrzeby tego artykułu rozważmy modele przeżycia jako złożone z dwóch części:

• funkcja hazardu, opisująca w jaki sposób zmienia się w czasie ryzyko,
• parametry efektu opisujące jak funkcja hazardu zależy od innych czynników, takich jak np. wybór rodzaju terapii w medycynie.

Założenie proporcjonalnego hazardu (lub założenie proporcjonalności) postuluje że parametry efektu wpływają na funkcję hazardu po prostu mnożąc się przez nią. Na przykład, jeśli dany lek zmniejszał hazard w chwili 0 dwukrotnie, w momentach 1, 2, ... także zmniejszy hazard dwukrotnie.

Model proporcjonalnego hazardu Coksa

Sir David Cox zaobserwował, że jeśli spełnione jest założenie proporcjonalnego hazardu, to możliwa jest estymacja parametrów efektu bez jakichkolwiek założeń dotyczących funkcji hazardu. To podejście jest nazywane modelem proporcjonalnego hazardu Coksa, modelem Coksa, lub po prostu modelem proporcjonalnego hazardu, choć istnieją też inne, opisane dalej.

Model ma postać:

$h(t, z_1, z_2, \dots, z_m) = h_0(t)\cdot e^{b_1 z_1 + b_2 z_2 + \dots + b_m z_m}$

gdzie:

• $t\;$ to czas
• $z_1, z_2, \dots, z_m$ to zmienne objaśniające
• $b_1, b_2, \dots, b_m$ to parametry modelu
• $h_0\;$ to tzw. hazard bazowy przy założeniu, że wszystkie zmienne objaśniające są równe zero
• $h\;$ to wynikowy hazard

Model można sprowadzić do postaci liniowej przez podzielenie obydwu stron przez $h_0(t)$ i zlogarytmowanie:

$\operatorname{ln}\frac{h(t, z_1, z_2, \dots, z_m)}{h_0(t)}=b_1 z_1 + b_2 z_2 + \dots + b_m z_m$

Termin model regresyjny Coksa (bez proporcjonalnego hazardu) jest czasem używany do opisu uogólnienia modelu Coksa w celu uwzględnienia czynników zależnych od czasu.

Parametryczne modele proporcjonalnego hazardu

Istnieją również inne modele proporcjonalnego hazardu. Można na przykład przyjąć, że spełnione jest założenie proporcjonalnego hazardu, ale dodatkowo funkcja hazardu ma pewną z góry założoną postać. To tzw. parametryczne modele proporcjonalnego hazardu. Jednym z nich jest model proporcjonalnego hazardu Weibulla, który zakłada weibullowską postać funkcji hazardu. W modelu tym czasy przeżycia mają rozkład Weibulla. W odróżnieniu od nich model Coksa czasem nazywany jest półparametrycznym.

Związek z modelami Poissona

Istnieje związek między modelami proporcjonalnego hazardu Coksa i modelami regresji Poissona. Jest on czasem używany do aproksymacji modeli proporcjonalnego hazardu w oprogramowaniu statystycznym, dzięki czemu obliczenia są znacznie szybsze, co ma znaczenie przy dużych zbiorach danych lub złożonych modelach. Podstawy matematyczne są zawarte np. w pracy Lairda i Oliviera (Journal of the American Statistical Association, 1981), którzy zauważają:

„

Nie zakładamy, że model Poisssona jest słuszny, my go po prostu używamy jako metody wyliczania prawdopodobieństwa

”

Zobacz też

• analiza przeżycia
• rozkład Weibulla
• model log-liniowy

Bibliografia

• DR Cox (1972) Regression models and life tables Journal of the Royal Statistical Society Series B 34:187-220. (dla subskrybentów)
• DR Cox & D Oakes (1984) Analysis of survival data (Chapman & Hall)
• D Collett (2003) Modelling survival data in medical research (Chapman & Hall/CRC)
• TM Therneau & PM Grambsch (2000) Modeling survival data: extending the Cox Model (Springer)