Rozkład Weibulla

Rozkład Weibulla (dwuparametrowy)

Gęstość prawdopodobieństwa brak wykresu
Dystrybuanta brak wykresu
Parametry	$\lambda>0\,$ parametr skali (liczba rzeczywista) $k>0\,$ parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in [0; +\infty)\,$
Gęstość prawdopodobieństwa	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
Dystrybuanta	$1- e^{-(x/\lambda)^k}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$
Mediana	$\lambda\ln(2)^{1/k}\,$
Moda	$\lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\,$ dla $k>1$
Wariancja	$\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,$
Współczynnik skośności	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$
Kurtoza	$\tfrac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2 -4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}$
Entropia	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1$
Funkcja generująca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca	Waloddi Weibull (1939, 1951)

Rozkład Weibulla – ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.

Może on w zależności od parametrów przypominać zarówno rozkład normalny (dla k=3.4) , jak i rozkład wykładniczy (sprowadza się do niego dla k=1).

Parametr k rozkładu określa zachowanie prawdopodobieństwa awarii (śmierci) w czasie:

• dla k<1 prawdopodobieństwo awarii (śmierci) maleje z czasem. W przypadku modelowania awarii urządzenia sugeruje to, że egzemplarze mogą posiadać wady fabryczne i powoli wypadają z populacji.
• dla k=1 (rozkład wykładniczy) prawdopodobieństwo jest stałe. Sugeruje to, że awarie mają charakter zewnętrznych zdarzeń losowych.
• dla k=2 (rozkład Rayleigha) prawdopodobieństwo rośnie liniowo z czasem.
• dla k>1 prawdopodobieństwo rośnie z czasem. Sugeruje to zużycie części z upływem czasu jako główną przyczynę awaryjności.

Parametr $\lambda$ można zinterpretować jako czas po którym zginie $1-\frac{1}{e}\approx 63,2%$ osobników (porównaj wartość charakterystyczna przeżycia).

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

Waloddi Weibull. A statistical distribution function of wide applicability. „J. Appl. Mech.-Trans. ASME”. 18(3), s. 293-297, 1951.