NURBS

Przykładowa powierzchnia NURBS wraz z siatką kontrolną

NURBS (ang. Non-Uniform Rational B-Spline) - popularna nazwa dla dwóch rodzajów obiektów: krzywych i powierzchni.

Kształt tych krzywych określany jest za pomocą punktów kontrolnych i znakomicie nadają się do modelowania kształtów organicznych w programach do tworzenia grafiki 3D.

Powierzchnia NURBS jest matematycznie najbardziej elastyczną metodą przedstawienia powierzchni w modelu. Powierzchnia B-spline jest łatwa w modyfikacji, gdyż każdy biegun jej siatki kontrolnej wpływa na kształt powierzchni tylko w ograniczonym stopniu. Siatka kontrolna jest analogiem wieloboku kontrolnego krzywej B-spline.

Krzywe NURBS

Krzywe NURBS (n=3) określone na tych samych punktach kontrolnych; 1) górny obrazek - kontrola kształtu poprzez zmianę wartości węzłów (na osiach liczbowych zaznaczono rozkład węzłów); 2) dolny obrazek - kontrola kształtu poprzez zmianę wagi punktu (tutaj P2)

Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej nazwie:

• B-spline — krzywe NURBS to krzywe B-sklejane, a więc parametryczne krzywe, które są złożone z wycinków krzywych wielomianowych.
• Rational — krzywe wymierne, ponieważ zdefiniowano je we współrzędnych jednorodnych; po przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się funkcje wymierne. Rzecz ma się dokładnie tak samo jak w przypadku wymiernych krzywych Béziera.
• Non-uniform — cecha krzywej B-sklejanej: węzły krzywej nie muszą być rozmieszczone równomiernie.

Na kształt krzywej NURBS wpływają następujące elementy:

• punkty kontrolne $p_0, \ldots, p_{m-n-1}$;
• węzły $u_0, \ldots, u_m$ dzielące przedział $[0,1]$ na $m-1$ podprzedziałów;
• wagi punktów kontrolnych $w_0, \ldots, w_{m-n-1}$ (liczby rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów kontrolnych na krzywą;
• $n$ — stopień sklejanych wielomianów.

Dowolny punkt na krzywej dany jest wzorem:

$p(t) = \frac{\sum_{i=0}^{m-n-1} w_i p_i N_i^n(t)}{\sum_{i=0}^{m-n-1} w_i N_i^n(t)} \qquad \textrm{dla\ } t \in [u_n, n_{m-n}]$

gdzie $N_i^n$ jest unormowaną funkcją B-sklejaną.

Zwyczajna krzywa B-sklejana jest specjalnym przypadkiem krzywej NURBS dla równych sobie wag $w_i$ różnych od zera.

Krzywa NURBS łączy cechy krzywych B-sklejnych i wymiernych krzywych Béziera. W szczególności waga punktu wpływa na kształt lokalnie, co pokazano na rysunku – krzywa "zbliża się" lub "oddala" od punktu, w zależności od jego wagi. Odcinek krzywej jest liniowy, jeżeli punkt ma wagę równą zeru.