Paradoks Burali-Fortiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Paradoks Burali-Fortiego – twierdzenie odkryte w 1897 przez ucznia Giuseppe Peano, Cesarego Burali-Fortiego[1], mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost – zakładając, że istnieje zbiór A, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe, można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór B tego zbioru, złożony wyłącznie ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

\alpha=\bigcup B i \alpha\cup\{\alpha\}

są liczbami porządkowymi. Wówczas \alpha \in \alpha \cup \{\alpha\} oraz \alpha \cup \{\alpha\}\in B, a więc \alpha \in \bigcup B=\alpha, co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.

Przypisy

  1. Cesare Burali-Forti. Una questione sui numeri transfiniti. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”, s. 154–164, 1897. doi:10.1007/BF03015911. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]