Arytmetyka liczb porządkowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa w ZF (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć my zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce zakładamy ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się tu wyniki niezależnościowe.

Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych, choć można dostrzec między nimi pewne analogie.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Na liczbach porządkowych rozważa się następujące działania dwuargumentowe: dodawanie, mnożenie i potęgowanie liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik), poniżej przedstawimy oba podejścia.

Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne[edytuj | edytuj kod]

Operacje "+" i "·" na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów dobrze uporządkowanych.

Przypuśćmy, że {\bold A}=(A,\leqslant_A) oraz {\bold B}=(B,\leqslant_B) są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory A i Brozłączne. Określamy:

  • {\bold A}+{\bold B}= (A\cup B,\sqsubseteq^+), gdzie \sqsubseteq^+ jest relacją binarną na A\cup B zdefiniowaną przez
x\sqsubseteq^+ y wtedy i tylko wtedy gdy (x,y\in A\cup B oraz)
x,y\in A i x\leqslant_A y, lub
x,y\in B i x\leqslant_B y, lub
x\in A i y\in B.
  • {\bold A}\cdot{\bold B}= (A\times B,\sqsubseteq^\circ), gdzie \sqsubseteq^\circ jest relacją binarną na produkcie A\times B zdefiniowaną przez
(a_1,b_1)\sqsubseteq^\circ (a_2,b_2) wtedy i tylko wtedy gdy (a_1,a_2\in A, b_1,b_1\in B oraz)
b_1<_B b_2, lub
b_1=b_2 i a_1\leqslant_A a_2.

Można wykazać, że zarówno {\bold A}+{\bold B} jak i {\bold A}\cdot{\bold B} są dobrymi porządkami.

Liczba porządkowa \omega\cdot\omega: każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej ω·ω – kreski te odpowiadają liczbom postaci ω·m+n gdzie m i n są liczbami naturalnymi.

Dla liczb porządkowych \alpha,\beta określamy

  • sumę \alpha+\beta jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym {\bold A}+{\bold B}, gdzie {\bold A},{\bold B} są rozłącznymi kopiami \alpha i \beta, odpowiednio;
  • iloczyn \alpha\cdot\beta jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym {\bold A}\cdot{\bold B}, gdzie {\bold A},{\bold B} są kopiami \alpha i \beta, odpowiednio.

Definicje indukcyjne[edytuj | edytuj kod]

  • Dodawanie: przez indukcję po liczbach porządkowych \beta, dla każdej liczby porządkowej \alpha, definiujemy \alpha+\beta w sposób następujący:
\alpha+0=\alpha,
\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\} jest następnikiem porządkowym liczby \alpha,
\alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1,
jeśli \beta jest liczbą graniczną, to
\alpha+\beta=\lim\limits_{\gamma<\beta}(\alpha+\gamma).
  • Mnożenie: przez indukcję po liczbach porządkowych \beta, dla każdej liczby porządkowej \alpha, definiujemy \alpha\cdot\beta w sposób następujący:
\alpha\cdot 0=0,
\alpha\cdot (\beta+1)=\alpha\cdot\beta +\alpha,
jeśli \beta jest liczbą graniczną, to
\alpha\cdot\beta=\lim\limits_{\gamma<\beta}(\alpha\cdot\gamma).
  • Potęgowanie: przez indukcję po liczbach porządkowych \beta, dla każdej liczby porządkowej \alpha, definiujemy \alpha^\beta w sposób następujący:
\alpha^0=1,
\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta \cdot\alpha,
jeśli \beta jest liczbą graniczną, to
\alpha^\beta=\lim\limits_{\gamma<\beta}\alpha^\gamma.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Pewne własności "zwykłych" działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych \alpha, \beta, \gamma prawdziwe są następujące równości:

  • (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) oraz (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma),
  • \alpha + 0 =0+\alpha= \alpha, \alpha \cdot 0 =0\cdot \alpha= 0 oraz \alpha \cdot 1 =1\cdot\alpha= \alpha,
  • \alpha \cdot (\beta + \gamma) = (\alpha \cdot \beta) + (\alpha \cdot \gamma),
  • \gamma ^ {\alpha + \beta} = \gamma ^ \alpha \cdot \gamma ^ \beta oraz (\beta^\alpha)^\gamma = \beta ^ {\alpha \cdot \gamma},
  • \alpha^0 = 1 oraz \alpha \not = 0 \implies 0^\alpha = 0,
  • \alpha^1 = \alpha oraz 1^\alpha = 1.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przypomnijmy, że \omega=\{0,1,2,3,\ldots\} jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.

  • Ani dodawanie ani mnożenie liczb porządkowych nie są przemienne), gdyż na przykład:
888+\omega=\omega<\omega+888\, oraz 888\cdot\omega=\omega<\omega\cdot 888
  • Prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania nie jest na ogół nie zachodzi:
(\omega+888)\cdot 2=(\omega+888)+(\omega+888)=\omega+\omega+888 ale \omega\cdot 2+888\cdot 2=\omega+\omega+1776\neq \omega+\omega+888,
  • (\omega+\omega)\cdot \omega=\omega\cdot\omega,
  • (\omega\cdot 2)^2=(\omega+\omega)\cdot (\omega+\omega)=\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega<\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega+\omega\cdot\omega=\omega\cdot\omega \cdot 4=\omega^2\cdot 2^2,
  • 2^\omega=\lim\limits_{n<\omega}2^n=\omega,

Więcej własności[edytuj | edytuj kod]

  • Niech α,β będą liczbami porządkowymi, \alpha>0. Wówczas liczba β ma jednoznaczne przedstawienie postaci
\beta=\alpha\cdot\gamma+\delta gdzie γ,δ są liczbami porządkowymi i 0\leqslant\delta<\alpha.
  • Twierdzenie Cantora o postaci normalnej: Każda niezerowa liczba porządkowa \alpha>0 może być przedstawiona jednoznacznie w postaci
\alpha=\omega^{\beta_1}\cdot m_1+ \omega^{\beta_2}\cdot m_2+\ldots+\omega^{\beta_n}\cdot m_n
dla pewnych liczb naturalnych n\geqslant 1 oraz m_1,\ldots,m_n>0 oraz liczb porządkowych \beta_1,\ldots,\beta_n spełniających warunek \beta_n<\beta_{n-1}<\ldots<\beta_1\leqslant\alpha.
  • Liczby porządkowe α dla których zachodzi równość \omega^\alpha=\alpha były nazwane przez Cantora liczbami epsilonowymi; tworzą one klasę właściwą. Najmniejszą liczbą epsilonową jest
\varepsilon_0=\sup\{\omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \ldots\, \}..
(a) \beta+\varepsilon=\varepsilon dla każdej liczby \beta<\varepsilon,
(b) \beta\cdot\varepsilon=\varepsilon dla każdej liczby 1\leqslant\beta<\varepsilon,
(c) \beta^\varepsilon=\varepsilon dla każdej liczby 2\leqslant\beta<\varepsilon.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Dowód twierdzenia Goodsteina używa Cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż ε0.

Operacje naturalne[edytuj | edytuj kod]

W 1906, niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg[1] wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę i naturalny produkt. Czasami operacje te są nazywane sumą Hessenberga i produktem Hessenberga, odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy traktując te rozwinięcia jakby były formalnymi wielomianami zmiennej ω.

Niech α i β będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne n\geqslant 1 oraz m_1,\ldots,m_n,k_1,\ldots,k_n oraz liczby porządkowe \xi_n<\xi_{n-1}<\ldots<\xi_1 takie, że

\alpha=\omega^{\xi_1}\cdot m_1+ \omega^{\xi_2}\cdot m_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot m_n oraz \beta=\omega^{\xi_1}\cdot k_1+ \omega^{\xi_2}\cdot k_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot k_n.

Określamy teraz sumę naturalną \alpha(+)\beta przez

\alpha\oplus \beta=\omega^{\xi_1}\cdot (k_1+m_1)+ \omega^{\xi_2}\cdot (k_2+m_2)+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot (k_n+m_n).

Definicja produktu naturalnego \alpha\odot\beta jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia \omega^{\xi_1}\cdot m_1+ \omega^{\xi_2}\cdot m_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot m_n i \omega^{\xi_1}\cdot k_1+ \omega^{\xi_2}\cdot k_2+\ldots+\omega^{\xi_n}\cdot k_n jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych 1\leqslant i,j\leqslant n rozważamy liczbę \omega^{\xi_i\oplus\xi_j}\cdot m_i\cdot k_j (zwróćmy uwagę że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej). Produkt naturalny \alpha\odot\beta jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci \omega^{\xi_i\oplus\xi_j}\cdot m_i\cdot k_j uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.

Obie operacje, \oplus i \odot, są przemienne i łączne. Zauważmy, że

(\omega+1)+(\omega+1)=\omega\cdot 2+1, ale (\omega+1)\oplus(\omega+1)=\omega\cdot 2+2, oraz
(\omega+1)\cdot (\omega+1)=\omega^2+\omega+1 ale (\omega+1)\odot(\omega+1)=\omega^2+\omega\cdot 2+1.

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

W roku 1954 G.H. Toulmin udowodnił[2], że jeżeli X i Yprzestrzeniami regularnymi, to

\mbox{ind}\,X\times Y \leq (\mbox{ind}\,X\oplus\mbox{ind}\,Y)+n,

gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz n jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni X i Y. Gary Brookfield udowodnił[3], że jeżeli R jest pierścieniem noetherowskim, to

\mbox{len}\, R[x]=\omega\odot\mbox{len}\,R,

gdzie len jest liczbą porządkową mierzącą długość ideałową pierścienia R, w pewnym sensie dokładniej niż wymiar Krulla (pojęcie to wprowadził Gulliksen[4]).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Hessenberg, G.: Grundbegriffe der Mengenlehre. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. 1906.
  2. Toulmin, G.H. Shuffling ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc. 4 (1954), ss. 177–195.
  3. Brookfield G. The Length of Noetherian Polynomial Rings. Communications in Algebra, 1532-4125, (31), Issue 11, 2003, ss. 5591–5607. [1]
  4. Gulliksen, T. H. A Theory of Length for Noetherian Modules. J. of Pure and Appl. Algebra 1973, 3, ss. 159-170.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Wacław Sierpiński, Cardinal and ordinal numbers. Wydanie 2. Monografie Matematyczne, tom 34. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1965.