Liczby porządkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków.

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację ⊆, tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór α jest liczbą porządkową, gdy:

(i) każdy element \beta\in\alpha jest podzbiorem α, tzn.
(\forall \beta\in\alpha)(\beta\subseteq\alpha),
(ii) każde dwa różne elementy zbioru α są porównywalne w relacji ⊆, tzn.
(\forall\beta,\gamma\in\alpha)(\beta\ne\gamma \rightarrow \beta\subseteq \gamma\ \vee \ \gamma\subseteq\beta).

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. Natomiast w pewnych sytuacjach, rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC0) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:

(iii) każdy niepusty podzbiór zbioru α zawiera element ε-minimalny:
A\ne0 \rightarrow (\exists c\in A)(c\cap A=0)

Dla liczb porządkowych α i β pisze się \alpha<\beta, gdy \alpha\in \beta.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:
0=\varnothing
1=\{\varnothing\}
2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}
3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}
\omega=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\ldots\}=\{0,1,2,3,\ldots\}
\omega+1=\omega\cup\{\omega\}
\omega \cdot 2=\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots\}
\omega \cdot 3=\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots, \omega\cdot 2 ,\omega\cdot 2+1, \omega\cdot 2+2, \dots,\}
\omega \cdot \omega=\omega^2 =\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots, \omega\cdot 2 ,\omega\cdot 2+1, \omega\cdot 2+2, \dots, \dots\}
\omega^\omega=\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots, \omega\cdot 2 ,\omega\cdot 2+1, \omega\cdot 2+2, \dots, \dots,\omega^2 ,\omega^2+1, \omega^2+2, \dots, \dots\}
  • Jeśli α, β i γ są liczbami porządkowymi to
(a) \alpha<\beta lub \beta<\alpha lub \alpha=\beta,
(b) jeśli \alpha<\beta i \beta<\gamma, to \alpha<\gamma,
(c) \alpha<\beta wtedy i tylko wtedy gdy \alpha\subsetneq\beta,
(d) każdy element α jest liczbą porządkową,
(e) \alpha\cup\{\alpha\} jest liczbą porządkowa. Liczbę tę oznacza się symbolem \alpha+1.
  • Jeśli A jest zbiorem liczb porządkowych, to \bigcup A jest liczbą porządkową.
  • Jeśli (X,\sqsubset) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa α, że (silne) porządki (X,\sqsubset) i (\alpha,\in) są izomorficzne.
  • Jeśli C jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki x\in C, że x<y lub x=y dla wszystkich y\in C.

Jeżeli liczba porządkowa \alpha jest postaci \beta+1 dla pewnej liczby \beta, to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba która nie jest następnikowa nazywana jest liczbą graniczną.

Paradoks Burali-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]