Liczby porządkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Reprezentacja liczb porządkowych do ωω. Każdy obrót spirali przedstawia jedną potęgę ω

Liczby porządkowe (liczba porządkowa, lp.) – w teorii mnogości specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków.

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Intuicje[edytuj | edytuj kod]

Intuicyjnie, liczby porządkowe to pewne uogólnienie liczb naturalnych. Liczbami naturalnymi możemy numerować elementy zbiorów skończonych i przeliczalnych. Liczbami porządkowymi możemy numerować elementy zbiorów dowolnie dużej mocy (na przykład liczby rzeczywiste), choć do tego potrzebne jest założenie aksjomatu wyboru. Dzięki temu możemy między innymi znacznie rozszerzyć zakres działania indukcji matematycznej.

Graficzna reprezentacja „patyczkowa” liczby porządkowej ω². Każdy patyczek odpowiada liczbie porządkowej postaci ω·m+n, gdzie m oraz n są liczbami naturalnymi.

O liczbach porządkowych można też myśleć jak o liczbach potrzebnych do numeracji etapów różnych konstrukcji w sytuacji, gdy pożądane jest jej kontynuowanie w pozaskończoność. Pierwsze kroki konstrukcji można numerować za pomocą liczb naturalnych 0, 1, 2, 3, … Po ponumerowaniu wszystkich etapów opisywanych liczbami naturalnymi można przejść do kolejnego etapu, w którym zostanie użyty numer ω. ω oznacza liczbę używaną do oznaczenia kroku, który następuje po wszystkich krokach oznaczonych przy użyciu liczb 0, 1, 2, 3, … Następny etap będzie oznaczony przez ω+1, kolejny przez ω+2 itd. Intuicyjnie jasnymi są symbole ω+ω, ω+ω+1 i ω+ω+ω+…. Problem może sprawić symbol ωω=ω².

Liczby używane do numeracji etapów (tak jak w przykładzie powyżej) powinny mieć pewne naturalne własności. Przede wszystkim powinniśmy być w stanie powiedzieć które kroki są wykonywane wcześniej a które później, co zaraz prowadzi do postulatu, że nasze nowe liczby są liniowo uporządkowane. Powinny mieć one także tę własność liczb naturalnych, która umożliwia przeprowadzenie dowodu indukcyjnego, mianowicie każdy zbiór tych liczb powinien mieć element najmniejszy. Tak więc nasze liczby porządkowe powinny być elementami pewnego dobrego porządku. Ponieważ nie chcemy z góry się ograniczać do jakiegokolwiek zbioru, musimy zezwolić na użycie klasy.

Intuicyjna konstrukcja klasy liczb porządkowych przebiega jak następuje.

Najmniejszą liczbą porządkową jest zbiór pusty. Kolejną (1) - zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty. Następną (2) - zbiór, którego elementami są poprzednie liczby porządkowe (czyli zbiór pusty oraz 1). I tak dalej - każda kolejna liczba porządkowa jest zbiorem złożonym z dotychczas skonstruowanych liczb porządkowych.

Na razie skonstruowaliśmy jedynie liczby naturalne. Kolejnym krokiem naszej konstrukcji jest stworzenie nieskończonej liczby porządkowej (ω). Składa się ona ze wszystkich skończonych liczb porządkowych. Konstrukcję możemy ciągnąć dalej...

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację ⊆, tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór α jest liczbą porządkową, gdy:

(i) każdy element \beta\in\alpha jest podzbiorem α, tzn.
(\forall \beta\in\alpha)(\beta\subseteq\alpha),
(ii) każde dwa różne elementy zbioru α są porównywalne w relacji ⊆, tzn.
(\forall\beta,\gamma\in\alpha)(\beta\ne\gamma \rightarrow \beta\subseteq \gamma\ \vee \ \gamma\subseteq\beta).

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. Natomiast w pewnych sytuacjach, rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC0) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:

(iii) każdy niepusty podzbiór zbioru α zawiera element ε-minimalny:
A\ne0 \rightarrow (\exists c\in A)(c\cap A=0)

Dla liczb porządkowych α i β pisze się \alpha<\beta, gdy \alpha\in \beta.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:
0=\varnothing
1=\{\varnothing\}
2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}
3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}
\omega=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\ldots\}=\{0,1,2,3,\ldots\}
\omega+1=\omega\cup\{\omega\}
\omega \cdot 2=\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots\}
\omega \cdot 3=\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots, \omega\cdot 2 ,\omega\cdot 2+1, \omega\cdot 2+2, \dots,\}
\omega \cdot \omega=\omega^2 =\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots, \omega\cdot 2 ,\omega\cdot 2+1, \omega\cdot 2+2, \dots, \dots\}
\omega^\omega=\{0,1,2,3,\dots , \omega ,\omega+1, \omega+2, \dots, \omega\cdot 2 ,\omega\cdot 2+1, \omega\cdot 2+2, \dots, \dots,\omega^2 ,\omega^2+1, \omega^2+2, \dots, \dots\}
  • Jeśli α, β i γ są liczbami porządkowymi to
(a) \alpha<\beta lub \beta<\alpha lub \alpha=\beta,
(b) jeśli \alpha<\beta i \beta<\gamma, to \alpha<\gamma,
(c) \alpha<\beta wtedy i tylko wtedy gdy \alpha\subsetneq\beta,
(d) każdy element α jest liczbą porządkową,
(e) \alpha\cup\{\alpha\} jest liczbą porządkowa. Liczbę tę oznacza się symbolem \alpha+1.
  • Jeśli A jest zbiorem liczb porządkowych, to \bigcup A jest liczbą porządkową.
  • Jeśli (X,\sqsubset) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa α, że (silne) porządki (X,\sqsubset) i (\alpha,\in) są izomorficzne.
  • Jeśli C jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki x\in C, że x<y lub x=y dla wszystkich y\in C.

Jeżeli liczba porządkowa \alpha jest postaci \beta+1 dla pewnej liczby \beta, to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba która nie jest następnikowa nazywana jest liczbą graniczną.

Paradoks Burali-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007.
  2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]