Postulat Bertranda

Twierdzenie Czebyszewa (twierdzenie Bertranda-Czebyszewa, postulat Bertranda) – twierdzenie w teorii liczb.

Twierdzenie

Dla każdej liczby naturalnej $n \in N$ większej lub równej $1$ istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od $n$ i mniejsza lub równa $2n$.

$\forall_{n\geqslant 1}\; \pi(2n)>\pi(n)$.

lub

$\forall_{n\geqslant 1}\;\exists_{p\in \mathbb{P}}\; 2n \geqslant p > n$.

Uwagi

Udowodniono również, że

$\forall_{n>5}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant2$.

$\forall_{n>8}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant3$.

$\forall_{n>14}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant4$.

$\forall_{n>20}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant5$.

Dla dowolnej liczby po prawej stronie nierówności istnieje "odpowiednia wartość", którą można wpisać pod kwantyfikatorem. Patrz Liczby pierwsze Ramanujana

Postulat Bertranda

W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, tzw. postulat Bertranda, że jeśli $n > 3$ jest liczbą całkowitą, to istnieje liczba pierwsza $p$ taka, że $n < p < 2n - 2$. Powyższe twierdzenie jest słabszą wersją tej hipotezy.

Bertrand sprawdził swój postulat dla wszystkich liczb całkowitych z przedziału $[2 , 3 \cdot 10^6]$. W 1850 roku prawdziwości postulatu dowiódł Pafnutij Czebyszow.

Zobacz też

• funkcja π