Postulat Bertranda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Czebyszewa (twierdzenie Bertranda-Czebyszewa, postulat Bertranda) – twierdzenie w teorii liczb.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej liczby naturalnej n \in N większej lub równej 1 istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od n i mniejsza lub równa 2n.

\forall_{n\geqslant 1}\; \pi(2n)>\pi(n).

lub

\forall_{n\geqslant 1}\;\exists_{p\in \mathbb{P}}\; 2n \geqslant p > n.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Udowodniono również, że

\forall_{n>5}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant2.
\forall_{n>8}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant3.
\forall_{n>14}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant4.
\forall_{n>20}\; \pi(2n)-\pi(n)\geqslant5.

Dla dowolnej liczby po prawej stronie nierówności istnieje "odpowiednia wartość", którą można wpisać pod kwantyfikatorem. Patrz Liczby pierwsze Ramanujana

Postulat Bertranda[edytuj | edytuj kod]

W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, tzw. postulat Bertranda, że jeśli n > 3 jest liczbą całkowitą, to istnieje liczba pierwsza p taka, że n < p < 2n - 2. Powyższe twierdzenie jest słabszą wersją tej hipotezy.

Bertrand sprawdził swój postulat dla wszystkich liczb całkowitych z przedziału [2 , 3 \cdot 10^6]. W 1850 roku prawdziwości postulatu dowiódł Pafnutij Czebyszow.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]