Test istotności dla dwóch średnich

Test istotności dla dwóch średnich – test istotności, służący do wnioskowania o równości dwóch średnich w dwóch populacjach normalnych. W zależności od posiadanych informacji o porównywanych populacjach wyróżnia się trzy modele, w których można zweryfikować hipotezę $H_{0}:m_{1}=m_{2},$ gdzie $m_{1}$ i $m_{2},$ to średnie podanych populacji generalnych. Natomiast postać hipotezy alternatywnej $H_{1}$ decyduje o obszarze krytycznym, który może być jednostronny lub dwustronny.

Test dla znanych odchyleń standardowych

Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych $N(m_{1},\sigma _{1})$ i $N(m_{2},\sigma _{2}),$ których odchylenia standardowe są znane. Test istotności wygląda następująco:

$u={\frac {{\overline {x_{1}}}-{\overline {x_{2}}}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

gdzie:

• ${\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}}$ – średnie z prób,
• $\sigma _{1},\sigma _{2}$ – odchylenia standardowe z populacji,
• $n_{1},n_{2}$ – liczebności prób.

W tym przypadku $u$ ma rozkład normalny $N(0,1)$ jeśli hipoteza o równości średnich jest prawdziwa.

Test dla nieznanych odchyleń standardowych, ale $\sigma _{1}=\sigma _{2}$

Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych $N(m_{1},\sigma _{1})$ i $N(m_{2},\sigma _{2}),$ których odchylenia standardowe nie są znane, wiemy jednak, że $\sigma _{1}=\sigma _{2}.$ Test istotności wygląda następująco:

$t={\frac {{\overline {x_{1}}}-{\overline {x_{2}}}}{\sqrt {{\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}})}}},$

gdzie:

• ${\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}}$ – średnie z prób,
• $s_{1},s_{2}$ – odchylenia standardowe z prób,
• $n_{1},n_{2}$ – liczebności prób.

Rozkład statystyki testowej $t$ jest rozkładem t-Studenta o $n_{1}+n_{2}-2$ stopniach swobody.

Test dla nieznanych odchyleń standardowych

Mamy podane dwie populacje generalne o rozkładach normalnych $N(m_{1},\sigma _{1})$ i $N(m_{2},\sigma _{2}),$ których odchylenia standardowe nie są znane a wielkości prób są przynajmniej 30. Test istotności wygląda następująco:

$u={\frac {{\overline {x_{1}}}-{\overline {x_{2}}}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}},$

gdzie:

• ${\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}}$ – średnie z prób,
• $s_{1},s_{2}$ – odchylenia standardowe z prób,
• $n_{1},n_{2}$ – liczebności prób.

Liczba stopni swobody $\nu$ rozkładu t-Studenta związana z tą estymatą wariancji jest przybliżana za pomocą równania Welcha-Satterthwaite’a:

$\nu ={\frac {\left({\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}{{\frac {s_{1}^{4}}{n_{1}^{2}\cdot (n_{1}-1)}}+{\frac {s_{2}^{4}}{n_{2}^{2}\cdot (n_{2}-1)}}}}\cdot$

Zobacz też

• statystyka
• test istotności
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• weryfikacja hipotez statystycznych