Trójkąt podwójnie asymptotyczny

Trójkąt podwójnie asymptotyczny – figura utworzona przez prostą oraz dwa różne promienie wychodzące z danego punktu A leżącego poza tą prostą, równoległe do niej.

Można zdefiniować trójkąt podwójnie asymptotyczny posiłkując się pojęciem punktu w nieskończoności. Jest to figura utworzona przez prostą M_∞N_∞ oraz dwa różne promienie wychodzące z jednego punktu A leżącego poza tą prostą równoległe do tej prostej, gdzie M_∞ i N_∞ są punktami w nieskończoności. Tylko jeden z jego kątów jest niezerowy – kąt między dwoma promieniami. Kąt ten jest dwukrotnością kąta równoległości punktu A względem prostej p. Punkt A jest skończonym wierzchołkiem trójkąta podwójnie asymptotycznego. Boki (promienie) AM_∞ i AN_∞ nazywają się ramionami trójkąta podwójnie asymptotycznego, a prostą M_∞N_∞ - podstawą trójkąta podwójnie asymptotycznego.

Trójkąt N _∞AM _∞ jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Punkty N _∞ i M _∞ są punktami w nieskończoności.

Własności

• Trójkąt podwójnie asymptotyczny jest figurą symetryczną względem prostej prostopadłej do jego podstawy przechodzącej przez jego skończony wierzchołek. Kąty między tą prostopadłą i każdym z ramion są równe kątowi równoległości wierzchołka skończonego względem podstawy. Długość odcinka prostopadłej łączącego wierzchołek skończony z jego rzutem na podstawę jednoznacznie wyznacza kąt równoległości (czyli z dokładnością do przystawania figur wyznacza trójkąt podwójnie asymptotyczny).
• Trójkąt podwójnie asymptotyczny jest sumą dwóch przystających trójkątów asymptotycznych prostopadłych.
• Trójkąt podwójnie asymptotyczny ma pole skończone. Jest to wniosek ze skończoności pola trójkąta asymptotycznego.
• Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe pola.
• Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy w obu wierzchołek niebędący punktem w nieskończoności leży w tej samej odległości od boku, który jest prostą.
• Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy w obu kąt między promieniami jest taki sam.
• Podstawa trójkąta podwójnie asymptotycznego jest prostą zagradzającą niezerowy kąt tego trójkąta.

Zastosowania w sztuce

Jeden z możliwych parkietarzy koła trójkątami podwójnie asymptotycznymi

Parkietarz koła trójkątami podwójnie asymptotycznymi

• Trójkąty podwójnie asymptotyczne mają zastosowania graficzne. Można układać z nich parkietarze koła (w modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej). Dwa z trzech wierzchołków takiego trójkąta leżą na okręgu będącym brzegiem koła. Każdy z trójkątów parkietarzu, zarówno biały, jak i czarny, ma tę własność.

Bibliografia

• Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.brak strony w książce