Prostopadłość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrii elementarnej. Zobacz też: ortogonalność – uogólnienie pojęcia na przestrzenie unitarne.
Prosta \scriptstyle AB jest prostopadła do \scriptstyle CD w punkcie \scriptstyle B, ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.

Jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to (dowolny) kąt stworzony przez ich przecięcie nazywa się kątem prostym, który ma miarę ½π radianów lub 90°. Odwrotnie, dowolne proste przecinające się pod kątem prostym są prostopadłe.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Perpendicular-construction.svg

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej \scriptstyle AB w punkcie \scriptstyle P kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

  • krok 1: nakreślić okrąg o środku \scriptstyle P, w celu znalezienia na prostej \scriptstyle AB punktów \scriptstyle A' i \scriptstyle B' równoodległych od \scriptstyle P;
  • krok 2: nakreślić okręgi o środkach w \scriptstyle A' oraz \scriptstyle B', które przechodzącą przez \scriptstyle P; punkt \scriptstyle Q będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;
  • krok 3: połączyć \scriptstyle P oraz \scriptstyle Q, aby skonstruować szukaną prostopadłą \scriptstyle PQ.

Aby udowodnić, że \scriptstyle PQ rzeczywiście jest prostopadła do \scriptstyle AB wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów \scriptstyle QPA' oraz \scriptstyle QPB', które zapewnia o równości miar kątów \scriptstyle OPA' i \scriptstyle OPB'. Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów \scriptstyle OPA' oraz \scriptstyle OPB' otrzymuje się równość miar kątów \scriptstyle POA i \scriptstyle POB.

Związek z równoległością[edytuj | edytuj kod]

Proste \scriptstyle a i \scriptstyle b są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną \scriptstyle c.

Jak pokazano na rys. obok jeżeli dwie proste (\scriptstyle a oraz \scriptstyle b) są obie prostopadłe do trzeciej prostej (\scriptstyle c), to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Stąd, w geometrii euklidesowej, każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe, o czym mówi postulat równoległości. Odwrotnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Na rys. obok wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste \scriptstyle a oraz \scriptstyle b są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

  • jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;
  • jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;
  • prosta \scriptstyle c jest prostopadła do prostej \scriptstyle a;
  • prosta \scriptstyle c jest prostopadła do prostej \scriptstyle b;

Geometria analityczna[edytuj | edytuj kod]

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie \scriptstyle xy mogą być opisane równaniami

ax + by + e = 0 oraz cx + dy + f = 0.

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle ac + bd = 0.

Dla prostych nierównoległych do osi \scriptstyle y równania mogą przybrać postać:

y = ax + b oraz y = cx + d.

Wielkości \scriptstyle a oraz \scriptstyle c nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności \scriptstyle ac = -1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]