Prostopadłość

Prosta $\scriptstyle AB$ jest prostopadła do $\scriptstyle CD$ w punkcie $\scriptstyle B,$ ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.

Jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to (dowolny) kąt stworzony przez ich przecięcie nazywa się kątem prostym, który ma miarę ½π radianów lub 90°. Odwrotnie, dowolne proste przecinające się pod kątem prostym są prostopadłe.

Konstrukcja

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej $\scriptstyle AB$ w punkcie $\scriptstyle P$ kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

• krok 1: nakreślić okrąg o środku $\scriptstyle P,$ w celu znalezienia na prostej $\scriptstyle AB$ punktów $\scriptstyle A^'$ i $\scriptstyle B^'$ równoodległych od $\scriptstyle P;$
• krok 2: nakreślić okręgi o środkach w $\scriptstyle A'$ oraz $\scriptstyle B',$ które przechodzącą przez $\scriptstyle P;$ punkt $\scriptstyle Q$ będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;
• krok 3: połączyć $\scriptstyle P$ oraz $\scriptstyle Q,$ aby skonstruować szukaną prostopadłą $\scriptstyle PQ.$

Aby udowodnić, że $\scriptstyle PQ$ rzeczywiście jest prostopadła do $\scriptstyle AB$ wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów $\scriptstyle QPA^'$ oraz $\scriptstyle QPB^',$ które zapewnia o równości miar kątów $\scriptstyle OPA^'$ i $\scriptstyle OPB^'.$ Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów $\scriptstyle OPA^'$ oraz $\scriptstyle OPB^'$ otrzymuje się równość miar kątów $\scriptstyle POA$ i $\scriptstyle POB.$

Związek z równoległością

Proste $\scriptstyle a$ i $\scriptstyle b$ są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną $\scriptstyle c$.

Jak pokazano na rys. obok jeżeli dwie proste ($\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle b$) są obie prostopadłe do trzeciej prostej ($\scriptstyle c$), to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Stąd, w geometrii euklidesowej, każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe, o czym mówi postulat równoległości. Odwrotnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Na rys. obok wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste $\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle b$ są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

• jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;
• jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;
• prosta $\scriptstyle c$ jest prostopadła do prostej $\scriptstyle a;$
• prosta $\scriptstyle c$ jest prostopadła do prostej $\scriptstyle b;$

Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie $\scriptstyle xy$ mogą być opisane równaniami

$ax + by + e = 0$ oraz $cx + dy + f = 0.$

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle ac + bd = 0.$

Dla prostych nierównoległych do osi $\scriptstyle y$ równania mogą przybrać postać:

$y = ax + b$ oraz $y = cx + d.$

Wielkości $\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle c$ nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności $\scriptstyle ac = -1.$

Zobacz też

• ortogonalność,
• płaszczyzna normalna,
• równoległość.

Linki zewnętrzne

• Definicja: prostopadłość (ang.) wraz z animacją interaktywną
• Jak narysować prostopadłą dwusieczną odcinka za pomocą cyrkla i linijki (ang.); animowany pokaz
• Jak narysować prostopadłą w wierzchołku kąta za pomocą cyrkla i linijki (ang.); animowany pokaz