Twierdzenie Charitonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Charitonowa jest używane w teorii sterowania do sprawdzania stabilności systemów dynamicznych gdy parametry fizyczne systemu nie są dokładnie znane. W przypadku znania dokładnej wartości współczynników wielomianu charakterystycznego, do badania stabilności można użyć twierdzenia Hurwitza. Twierdzenie Charitonowa może zaś zostać wykorzystane w przypadku, gdy znamy tylko przedział, do którego należą te współczynniki. Daje to kryterium sprawdzania stabilności wielomianów przedziałowych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Wielomian przedziałowy jest to rodzina wielomianów

p(s)= a_0 + a_1 s^1 + a_2 s^2 + ... + a_n s^n\,

Współczynniki a_i \in R przyjmują dowolną wartość z przedziału \underline{a_i} \le a_i \le \overline{a_i}. Ponadto przyjmuje się, że współczynnik wiodący w wielomianie jest różny od zera 0 \notin [\underline{a_n}, \overline{a_n}].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Wielomian przedziałowy jest stabilny (wszystkie wielomiany z rodziny są stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie cztery tak zwane wielomiany Charitonowa

k_1(s) = \underline{a_0} + \underline{a_1} s^1 + \overline{a_2} s^2 +  \overline{a_3} s^3 + \underline{a_4} s^4 + \underline{a_5} s^5 + \cdots \,
k_2(s) = \overline{a_0} + \overline{a_1} s^1 + \underline{a_2} s^2 +  \underline{a_3} s^3 + \overline{a_4} s^4 + \overline{a_5} s^5 + \cdots \,
k_3(s) = \underline{a_0} + \overline{a_1} s^1 + \overline{a_2} s^2 +  \underline{a_3} s^3 + \underline{a_4} s^4 + \overline{a_5} s^5 + \cdots \,
k_4(s) = \overline{a_0} + \underline{a_1} s^1 + \underline{a_2} s^2 +  \overline{a_3} s^3 + \overline{a_4} s^4 + \underline{a_5} s^5 + \cdots \,

są stabilne.

Ciekawe w twierdzeniu Charitonowa jest to, że sprawdzając stabilność nieskończenie wielu wielomianów, wystarczy zbadać tylko cztery. To zaś można uczynić np. metodą Hurwitza. Zatem sprawdzanie stabilności wielomianu przedziałowego wymaga tylko czterokrotnie więcej pracy niż w przypadku zwykłego wielomianu.

Twierdzenie Charitonowa jest przydatne w przypadku konieczności sterowania systemami, w których występują błędy pomiarowe lub zmiany parametrów systemu.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]