Twierdzenie Lévy’ego-Craméra

Twierdzenie

Niech $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem dystrybuant, a $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\varphi$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty $F.$ Dodatkowo, $\varphi$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F.$

Wniosek

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim _{n\to \infty }~\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF_{n}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g.$

Bibliografia

• Marek Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 203.
• Tadeusz Gerstenkorn, Tadeusz Śródka: Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 368.