Dystrybuanta

Dystrybuanta (fr. distribuer „rozdzielać, rozdawać”) – w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. W statystyce dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną i jest blisko związana z pojęciem rangi.

Definicja

Niech $\mathbb{P}$ będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję $F\colon\mathbb R \to \mathbb R$ daną wzorem

$F(t)=\mathbb{P}((-\infty ,t])$

nazywamy dystrybuantą rozkładu $\mathbb P$.

Własności

Funkcja $F\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest dystrybuantą (pewnego rozkładu prawdopodobieństwa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona niemalejąca, prawostronnie ciągła oraz

$\lim_{t \to -\infty}~F(t) = 0, \quad \lim_{t \to \infty}~F(t) = 1$.

Uwaga 1 

Powyższe twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający na to, by funkcja była dystrybuantą, dlatego czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze z tego względu, iż nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu pochodzącego z teorii miary. Wówczas taka definicja zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.

Uwaga 2 

Dystrybuanta $F$ wyznacza pewien rozkład $\mathbb P$ jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej $g$ względem rozkładu $\mathbb P$, to można mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty $F$, co zapisuje się:

$\int{g}d\mathbb{P}=\int{g}dF$

Uwaga 3 

Niekiedy w definicji dystrybuanty stosuje się przedział otwarty:

$F(t)=\mathbb{P}((-\infty ,t))$

Dystrybuanta jest wówczas funkcją lewostronnie ciągłą (w przeciwieństwie do przypadku gdy w definicji stosuje się przedział prawostronnie domknięty i dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą).

Punkty skokowe

Punkt skokowy dystrybuanty to punkt x_k, dla którego dystrybuanta F(x) spełnia warunek:

$F(x_k) - \lim_{x \rightarrow x_{k}^{-}}{F(x)} > 0$,

tzn. jest to jej punkt nieciągłości.

W przypadku dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa punkty skokowe występują dla każdej wartości zmiennej losowej, dla której ma ona dodatnie prawdopodobieństwo i tylko tam. W przypadku bezwględnie ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa nie ma punktów skokowych dystrybuanty. Zbiór punktów skokowych dystrybuanty jest co najwyżej zbiorem przeliczalnym.

Przykłady

Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych o różnych parametrach.

• Dystrybuanta rozkładu jednostajnego $\mathcal U(a,b)$:

$F(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{dla\ } x \leqslant a \\ {{x-a} \over {b-a}} & \textrm{dla\ } a < x \leqslant b \\ 1 & \textrm{dla\ } x>b \end{cases}$

• Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach $\mu$ i $\sigma^2$:

$F(x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1} {\sigma\sqrt{2\pi} } e^{-(u-\mu)^2 \over (2\sigma^2)}\,du$

• Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze $\lambda$:

$F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$

Gęstość

Mierzalną w sensie Lebesgue'a funkcję $f\colon \mathbb{R}\to [0,\infty)$ nazywamy gęstością dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla $x\in\mathbb{R}$:

$F(x)=\int\limits_{-\infty }^{x}{f}(t)dt$

Własności

• Jeżeli $f$ jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z $f$ po całej prostej wynosi $1$.
• Jeżeli $f_1$ i $f_2$ są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
• Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
• Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
• Jeśli dystrybuanta $F$ ma gęstość, to dla $x\in\mathbb{R}$:

$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x F^\prime(t)dt$.

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli $F$ jest dystrybuantą rozkładu $\mathbb P$, to często zachodzi konieczność całkowania względem miary $\mathbb P$. Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli $f$ jest gęstością dystrybuanty $F$, to

$\int\limits_Bg(x)dP(x)=\int\limits_Bg(x)f(x)dx$,

dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}$ i dla każdej funkcji borelowskiej $g$ przyjmującej wartości w $\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^M$ dla pewnej liczby naturalnej $M$.

Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

Istnieją ciągłe dystrybuanty nie mające gęstości. Klasycznym przykładem jest:

$F(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\; x<0\\ C(x),\; x\in [0,1] \\ 1,\; x>1\end{array}\right.$,

gdzie $C(x)$ oznacza funkcję Cantora. $C(x)$ jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $[0,1]$. Dystrybuanta $F$ nie może mieć zatem gęstości ponieważ $F^\prime=0$ prawie wszędzie.

Funkcja charakterystyczna

Jeżeli $F$ jest dystrybuantą, to funkcję $\varphi\colon \mathbb R \to \mathbb C$ określoną wzorem

$\varphi(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~e^{itx} dF(x)$

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$.

Jeżeli $\varphi$ jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz

1. $\varphi(0) = 1$,
2. $\varphi(-t) = \overline{\varphi(t)}$ dla $t \in \mathbb R$,
3. $|\varphi(t)| \leqslant 1$ dla $t \in \mathbb R$.

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli $\varphi$ jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$, a $x,y$ są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to

$F(x)-F(y)=\lim_{a\to\infty}\tfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-a}^a\frac{e^{-ity}-e^{-itx}}{it}\varphi(t)dt$.

Dowód tego faktu przeprowadza się w oparciu o twierdzenie Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością – dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy $C^1$.

Zbieżność a ciągłość

Słaba zbieżność

Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n \to \infty}~F_n(x) = F(x)$

dla każdego $x \in \mathbb R$, będącego punktem ciągłości dystrybuanty $F$.

• W powyższej definicji istotne jest założenie "do dystrybuanty". Jest tak, ponieważ ciąg dystrybuant może być zbieżny do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

Przykład

Niech dany będzie ciąg dystrybuant:

$F_k (x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & x \leqslant -k \\ \frac{x + k}{2k}, & -k < x \leqslant k \\ 1, & x > k \end{matrix} \right.$

Wówczas dla każdego $x \in \mathbb{R}$, $F_k(x) \xrightarrow[k \to \infty]{} F(x) = \frac{1}{2}$, ale funkcja $F(x) = \frac{1}{2}$ nie jest dystrybuantą.

• Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest poniższe twierdzenie Helly'ego.

Twierdzenie Helly'ego

Jeżeli ciąg dystrybuant $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$, a $g\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest ograniczoną funkcją ciągłą, to

$\lim_{n \to \infty}~\int\limits_\mathbb R~g(x) dF_n(x) = \int\limits_\mathbb R~g(x) dF(x)$.

Wnioskiem z twierdzenia Helly'ego jest fakt, że jeśli $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest ciągiem dystrybuant, a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest punktowo zbieżny do dystrybuanty $F$, to ciąg $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji $F$.

Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

Niech $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem dystrybuant, a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych. Ciąg $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\varphi\colon \mathbb R \to \mathbb C$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty $F .$ $\varphi$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F .$

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n \to \infty}~\int\limits_\mathbb R~g(x) dF_n(x) = \int\limits_\mathbb R~g(x) dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g$.

Zbieżność jednostajna

Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić korzystając z jednostajnej ciągłości dystrybuanty ciągłej.

Dystrybuanta zmiennej i wektora losowego

Niech $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Jeśli $X\colon \Omega \to \mathbb R$ jest zmienną losową, to funkcja $F_X: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dana wzorem:

$F_X(x) = \mathbb P(\{\omega \in \Omega\colon\, X(\omega) \leqslant x\})$ $, x \in \mathbb{R}$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej $X$.

Jeśli $X\colon \Omega \to \mathbb R^n$ jest wektorem losowym, to funkcja $F_X: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ dana wzorem:

$F_X (\mathbf{x}) = \mathbb{P} \left( X^{-1} ((-\infty, x_1] \times \dots \times (-\infty, x_n]) \right) =$

$= \mathbb{P} \left( \bigcap\limits_{k=1}^n \{ \omega \in \Omega \colon X_k(\omega) \leqslant x_k \} \right) , \quad \mathbf{x} = (x_1, \dots , x_n) \in \mathbb{R}^n$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą wektora $X$.

Każda zmienna losowa (wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).

Bibliografia

1. Patrick Billingsley: Prawdopodobieństwo i miara. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
2. Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
3. Andrzej Pacut: Prawdopodobieństwo : teoria, modelowanie probabilistyczne w technice. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985, s. 484,485. ISBN 83-204-0524-6.
4. Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 12. ISBN 83-01-09054-5.