Dystrybuanta

Z Wikipedii

Dystrybuanta – w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej^[1]), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa ponieważ, są obiektem prostszym niż rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną. Jest ona blisko związana z pojęciem rangi.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykłady
4 Gęstość
- 4.1 Własności
- 4.2 Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości
5 Funkcja charakterystyczna
6 Zbieżność a ciągłość
7 Dystrybuanta zmiennej i wektora losowego
8 Przypisy
9 Bibliografia

[edytuj] Definicja

Niech $\mathbb{P}$ będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję $F\colon\mathbb R \to \mathbb R$ daną wzorem

$F(t)=\mathbb{P}((-\infty ,t])$

nazywamy dystrybuantą rozkładu $\mathbb P$ .

[edytuj] Własności

Funkcja $F\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest dystrybuantą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona niemalejąca, prawostronnie ciągła oraz

$\lim_{t \to -\infty}~F(t) = 0, \quad \lim_{t \to \infty}~F(t) = 1$ .

Uwaga 1: Powyższe twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający na to, by funkcja była dystrybuantą, dlatego czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze z tego względu, iż nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu pochodzącego z teorii miary. Wówczas taka definicja zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.

Uwaga 2

Dystrybanta

F

wyznacza pewien rozkład $\mathbb P$ jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej

g

względem rozkładu $\mathbb P$ , to można mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty

F

, co zapisuje się:

$\int{g}d\mathbb{P}=\int{g}dF$

[edytuj] Przykłady

Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych o różnych parametrach.

Dystrybuanta rozkładu jednostajnego $\mathcal U(a,b)$ :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{dla\ } x \leqslant a \\ {{x-a} \over {b-a}} & \textrm{dla\ } a < x \leqslant b \\ 1 & \textrm{dla\ } x>b \end{cases}$

Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach $μ$ i $σ 2$ :

$F(x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1} {\sigma\sqrt{2\pi} } e^{-(u-\mu)^2 \over (2\sigma^2)}\,du$

Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze $λ$ :

$F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$

[edytuj] Gęstość

Osobny artykuł: gęstość prawdopodobieństwa.

Mierzalną w sensie Lebesgue'a funkcję $f\colon \mathbb{R}\to [0,\infty)$ nazywamy gęstością dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla $x\in\mathbb{R}$ :

$F(x)=\int\limits_{-\infty }^{x}{f}(t)dt$

[edytuj] Własności

Jeżeli $f$ jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z $f$ po całej prostej wynosi $1$ .
Jeżeli $f 1$ i $f 2$ są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
Jeśli dystrybuanta $F$ ma gęstość, to dla $x\in\mathbb{R}$ :

$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x F^\prime(t)dt$ .

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli $F$ jest dystrybuantą rozkładu $\mathbb P$ , to często zachodzi konieczność całkowania względem miary $\mathbb P$ . Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli $f$ jest gęstością dystrybuanty $F$ , to

$\int\limits_Bg(x)dP(x)=\int\limits_Bg(x)f(x)dx$ ,

dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}$ i dla każdej funkcji borelowskiej $g$ przyjmującej wartości w $\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^M$ dla pewnej liczby naturalnej $M$ .

[edytuj] Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

Istnieją ciągłe dystrybuanty nie mające gęstości. Klasycznym przykładem jest:

$F(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\; x<0\\ C(x),\; x\in [0,1] \\ 1,\; x>1\end{array}\right.$ ,

gdzie $C (x)$ oznacza funkcję Cantora. $C (x)$ jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $[0,1]$ . Dystrybuanta $F$ nie może mieć zatem gęstości ponieważ $F^\prime=0$ prawie wszędzie.

[edytuj] Funkcja charakterystyczna

Osobny artykuł: funkcja charakterystyczna.

Jeżeli $F$ jest dystrybuantą, to funkcję $\varphi\colon \mathbb R \to \mathbb C$ określoną wzorem

$\varphi(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~e^{itx} dF(x)$

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$ .

Jeżeli $\varphi$ jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz

$\varphi(0) = 1$ ,
$\varphi(-t) = \overline{\varphi(t)}$ dla $t \in \mathbb R$ ,
$|\varphi(t)| \leqslant 1$ dla $t \in \mathbb R$ .

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli $\varphi$ jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$ , a $x, y$ są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to

$F(x)-F(y)=\lim_{a\to\infty}\tfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-a}^a\frac{e^{-ity}-e^{-itx}}{it}\varphi(t)dt$ .

Dowód tego faktu przeprowadza się w oparciu o twierdzenie Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością – dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy $C 1$ .

[edytuj] Zbieżność a ciągłość

[edytuj] Słaba zbieżność

Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n \to \infty}~F_n(x) = F(x)$

dla każdego $x \in \mathbb R$ , będącego punktem ciągłości dystrybuanty $F$ .

W powyższej definicji istotne jest założenie "do dystrybuanty". Jest tak, ponieważ ciąg dystrybuant może być zbieżny do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

Przykład

Niech dany będzie ciąg dystrybuant:

$F_k (x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & x \leqslant -k \\ \frac{x + k}{2k}, & -k < x \leqslant k \\ 1, & x > k \end{matrix} \right.$

Wówczas dla każdego $x \in \mathbb{R}$ , $F_k(x) \xrightarrow[k \to \infty]{} F(x) = \frac{1}{2}$ , ale funkcja $F(x) = \frac{1}{2}$ nie jest dystrybuantą.

Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest poniższe twierdzenie Helly'ego.

[edytuj] Twierdzenie Helly'ego

Jeżeli ciąg dystrybuant $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ , a $g\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest ograniczoną funkcją ciągłą, to

$\lim_{n \to \infty}~\int\limits_\mathbb R~g(x) dF_n(x) = \int\limits_\mathbb R~g(x) dF(x)$ .

Wnioskiem z twierdzenia Helly'ego jest fakt, że jeśli $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest ciągiem dystrybuant, a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest punktowo zbieżny do dystrybuanty $F$ , to ciąg $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji $F$ .

[edytuj] Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

Osobny artykuł: Twierdzenie Lévy'ego-Craméra.

Niech $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem dystrybuant, a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych. Ciąg $(\varphi_n)_{n \in \mathbb N}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\varphi\colon \mathbb R \to \mathbb C$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty $F .$ $\varphi$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F .$

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n \to \infty}~\int\limits_\mathbb R~g(x) dF_n(x) = \int\limits_\mathbb R~g(x) dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g$ .

[edytuj] Zbieżność jednostajna

Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić korzystając z jednostajnej ciągłości dystrybuanty ciągłej.

[edytuj] Dystrybuanta zmiennej i wektora losowego

Niech $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Jeśli $X\colon \Omega \to \mathbb R$ jest zmienną losową, to funkcja $F_X: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dana wzorem:

$F_X(x) = \mathbb P(\{\omega \in \Omega\colon\, X(\omega) \leqslant x\})$ ^[2] $, x \in \mathbb{R}$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej $X$ .

Jeśli $X\colon \Omega \to \mathbb R^n$ jest wektorem losowym, to funkcja $F_X: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ dana wzorem:

$F_X (\mathbf{x}) = \mathbb{P} \left( X^{-1} ((-\infty, x_1] \times \dots \times (-\infty, x_n]) \right) =$

$= \mathbb{P} \left( \bigcap\limits_{k=1}^n \{ \omega \in \Omega \colon X_k(\omega) \leqslant x_k \} \right) , \quad \mathbf{x} = (x_1, \dots , x_n) \in \mathbb{R}^n$

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą wektora $X$ .

Każda zmienna losowa (wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).

Przypisy

↑ Można także rozważać dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa w przestrzeni $\scriptstyle{\mathbb R^M}$ dla pewnego $\scriptstyle{M \in \mathbb N}$
↑ W praktyce stosuje się zapis $\scriptstyle{\mathbb \mathbb P(\{\omega \in \Omega\colon\, X(\omega)\leqslant x\}) = \mathbb P(X(\omega) \leqslant x)}$ albo nawet $\scriptstyle{\mathbb P(X \leqslant x)}$ .

[edytuj] Bibliografia

Patrick Billingsley: Prawdopodobieństwo i miara. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
Andrzej Pacut: Prawdopodobieństwo : teoria, modelowanie probabilistyczne w technice. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985, ss. 484,485. ISBN 83-204-0524-6.
Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 12. ISBN 83-01-09054-5.

[0] Można także rozważać dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa w przestrzeni $\scriptstyle{\mathbb R^M}$ dla pewnego $\scriptstyle{M \in \mathbb N}$

[1] W praktyce stosuje się zapis $\scriptstyle{\mathbb \mathbb P(\{\omega \in \Omega\colon\, X(\omega)\leqslant x\}) = \mathbb P(X(\omega) \leqslant x)}$ albo nawet $\scriptstyle{\mathbb P(X \leqslant x)}$ .

[1]

[2]

Dystrybuanta

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Gęstość

[edytuj] Własności

[edytuj] Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

[edytuj] Funkcja charakterystyczna

[edytuj] Zbieżność a ciągłość

[edytuj] Słaba zbieżność

[edytuj] Twierdzenie Helly'ego

[edytuj] Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

[edytuj] Zbieżność jednostajna

[edytuj] Dystrybuanta zmiennej i wektora losowego

Przypisy

[edytuj] Bibliografia

Widok

Osobiste

Szukaj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla edytorów

Utwórz książkę

Narzędzia

W innych językach