Twierdzenie Zsigmondy’ego

Twierdzenie Zsigmondy’ego – twierdzenie w teorii liczb dostarczające informacji o dzielnikach pierwszych różnicy n-tych potęg względnie pierwszych liczb naturalnych. Twierdzenie to zostało udowodnione przez austro-węgierskiego matematyka Karla Zsigmondy’ego w 1892 roku.

Twierdzenie Zsigmondy’ego znajduje zastosowanie m.in. w teorii grup, gdzie jest wykorzystywane, by wykazać, że pewne grupy mają różny rząd.

Twierdzenie

Niech $a$ i $b$ będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi oraz $a>b\geqslant 1.$ Wówczas dla każdej liczby całkowitej $n\geqslant 1$ liczba $a^{n}-b^{n}$ ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy $p,$ który nie dzieli żadnej z liczb $a^{k}-b^{k}$ dla $n>k\geqslant 1,$ chyba że ma miejsce jeden z poniższych wyjątków:

• $n=1$ oraz $a-b=1;$ wtedy liczba $a^{n}-b^{n}=1$ oczywiście nie ma żadnych dzielników pierwszych,
• $n=2$ oraz $a+b$ jest potęgą dwójki; wtedy liczby $a^{2}-b^{2}$ i $a-b$ są obie parzyste, ponadto każdy nieparzysty dzielnik pierwszy liczby $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ dzieli również $a-b,$
• $n=6,a=2,b=1;$ wówczas łatwo sprawdzić, że liczba $2^{6}-1=63=3^{2}\cdot 7$ nie ma nowych dzielników pierwszych, ponieważ $2^{2}-1=3$ oraz $2^{3}-1=7.$

Wersja z dodawaniem

Gdy $a,b\in \mathbb {Z}$ są różne i względnie pierwsze oraz $n\geqslant 1$ jest dowolną liczbą całkowitą, to poza wyjątkiem $a=2,b=1,n=3$ liczba $a^{n}+b^{n}$ ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy $p,$ który nie dzieli żadnej z liczb $a^{k}+b^{k}$ dla $n>k\geqslant 1.$

Powyższe twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia Zsigmondy’ego.

Dowód

Przypadek $n=1$ jest trywialny.

Dla $n\geqslant 2$ ustalmy liczby $a$ i $b,$ przy czym bez straty ogólności niech $a>b.$ Jeżeli nie zachodzi wspomniany wyjątek, to twierdzenie Zsigmondy’ego gwarantuje istnienie dzielnika pierwszego $p$ liczby $a^{2n}-b^{2n}$ takiego, że $p\nmid a^{k}-b^{k}$ dla $k<2n.$ Wówczas $p$ dzieli liczbę

$a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}-b^{n})(a^{n}+b^{n}),$

jednak nie dzieli $a^{n}-b^{n}.$ Stąd $p\mid a^{n}+b^{n}.$ Załóżmy teraz, że $p\mid a^{k}+b^{k}$ dla pewnego $k<n.$ Wówczas $p\mid a^{2k}-b^{2k},$ co wobec nierówności $2k<2n$ jest sprzeczne z definicją liczby $p.$ Zatem niemożliwe jest, by $p\mid a^{k}+b^{k}$ dla $k<n.$ To kończy dowód.

Zobacz też

• lemat o zwiększaniu wykładnika p-adycznego
• liczby Mersenne’a
• wielomian cyklotomiczny