Parzystość liczb

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W matematyce liczby parzyste i liczby nieparzyste to liczby całkowite odpowiednio podzielne lub niepodzielne przez 2.

Dla każdego całkowitego k:

  • 2k jest liczbą parzystą
\left\{2k\colon\, k\in\mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots\right\}
  • 2k+1 jest liczbą nieparzystą
\left\{2k+1\colon\, k\in\mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\right\}

Parzystością liczby nazywa się jej bycie parzystą lub nieparzystą.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

  • suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą,
    • parzysta ± parzysta = parzysta; bo 2k\pm2l=2(k\pm l)
    • nieparzysta ± nieparzysta = parzysta; bo (2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1) i (2k+1)-(2l+1)=2(k-l)
  • suma i różnica dwóch liczb o różnej parzystości jest liczbą nieparzystą,
    • parzysta ± nieparzysta = nieparzysta; bo 2k+(2l+1)=2(k+l)+1 i 2k-(2l+1)=2(k-l-1)+1
    • nieparzysta ± parzysta = nieparzysta; bo (2k+1)\pm2l=2(k\pm l)+1
  • iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą,
    • nieparzysta · nieparzysta = nieparzysta; bo (2k+1)\cdot(2l+1)=2(2kl+k+l)+1
  • iloczyn dwóch liczb całkowitych, z których co najmniej jedna jest parzysta, jest liczbą parzystą,
    • parzysta · parzysta = parzysta; bo 2k\cdot2l=2(2kl)
    • parzysta · nieparzysta = parzysta; bo 2k\cdot(2l+1)=2(2kl+k)
    • nieparzysta · parzysta = parzysta; bo 2(k+1)\cdot2l=2(2kl+l)
  • iloraz dwóch liczb jest parzysty wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą całkowitą oraz dzielna (licznik) ma większy wykładnik przy 2 niż dzielnik (mianownik) w rozkładzie na czynniki pierwsze.
    • Na przykład 30 / 10 nie jest liczbą parzystą, ponieważ obie liczby mają ten sam wykładnik przy 2 po rozkładzie na czynniki pierwsze: 30/10=(2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1) / (2^1 \cdot 5^1). Jeżeli któraś z tych liczb nie jest podzielna przez 2, to za wykładnik przy 2 należy uważać liczbę 0. I tak: 60/15=(2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1) / (2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1) jest liczbą parzystą, gdyż 2>0.