Teoria grup

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.

Zastosowania obejmują tak odległe dziedziny jak kryptografia, czy genetyka, a nawet muzyka (przykładem może być konstrukcja gamy, czy koło kwintowe), czy malarstwo (np. twórczość Mauritsa Cornelisa Eschera); nie mniej najczęściej jako przykłady zastosowań podaje się fizykę i chemię. W obu przypadkach wynika to z praktycznej interpretacji programu Kleina (zob. Rys historyczny), czyli obrazowo rzecz ujmując wnioskowania o własnościach danego obiektu za pomocą przejawianych przez niego symetrii, przy czym traktowane są one jako przekształcenia geometryczne (a nie własności) obiektu, których zbiór z działaniami składania, odwracania i tożsamością tworzy grupę nazywaną grupą przekształceń (zob. działanie grupy na zbiorze). W ten sposób bada się m.in. symetrie atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych itp., ale również bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pola fizyczne. Zasadniczo twierdzenie Noether mówi, że z każdym prawem zachowania związana jest pewna symetria układu fizycznego: niezmienniczość układu ze względu na określone operacje prowadzi do zachowania odpowiednich własności i odwrotnie, pojawianie się niezmiennych w czasie wielkości wskazuje na istnienie dodatkowych symetrii w danym układzie[1]. Ponadto formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup; wśród innych dziedzin fizyki i chemii intensywnie wykorzystujących teorię grup można wymienić fizykę cząstek elementarnych, spektroskopię czy fizykę ciała stałego, w tym krystalografię.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Początków teorii grup można upatrywać w badaniach nad rozwiązalnością równań algebraicznych. W XVI wieku Scipione del Ferro, a później w 1535 roku Niccolo Tartaglia, wskazali metodę rozwiązywania równań trzeciego stopnia. W 1540 roku Lodovico Ferrari odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań trzeciego stopnia; ukazały się one po raz pierwszy w dziele Ars Magna („Wielkie dzieło”) Girolamo Cardano wydanym w 1545 roku[2]. Naturalnym stało się pytanie o możliwość wskazania ogólnych wzorów opisujących rozwiązania równań algebraicznych wyższych stopni (równania pierwszego i drugiego stopnia rozwiązywano już w starożytności).

Jako pierwsi grupy (nie posługując się jeszcze ustaloną nazwą) rozważali Joseph Louis Lagrange i Paolo Ruffini, którzy przy rozwiązywaniu równań algebraicznych za pomocą pierwiastników (gdzie w istocie badali oni grupy przekształceń zmieniających porządek elementów zbiorów skończonych, tzw. grup permutacji). Badania te były kontynuowane przez Nielsa Henrika Abela, który w 1824 roku udowodnił, że niektórych równań algebraicznych o rzędzie wyższym niż czwarty nie można rozwiązywać przez podanie wzorów podobnych do wzorów del Ferro/Tartaglii, czy Cardano. Ostatecznie problem ten rozwiązał w 1830 roku niespełna osiemnastoletni Évariste Galois badając własności pewnej grupy o skończonej liczbie elementów (tzw. grupy rozwiązalnej), choć początkowo ich doniosłość została niezauważona, a jego teorie (zob. teoria Galois) doceniono dopiero w 18 lat po jego śmierci. To właśnie on jako pierwszy użył nazwy „grupa” (fr. groupe) odnosząc ją jednak do wspominanych wyżej grup permutacji (zob. działanie grupy na zbiorze). Charakteryzacje, które przedstawił, posłużyły następnie Arthurowi Cayleyowi w 1854 roku do zdefiniowania znanego dzisiaj, abstrakcyjnego pojęcia grupy[3].

Teoria grup pojawiła się zupełnie niezależnie w geometrii jako metoda klasyfikacji różnorakich geometrii, które pojawiły się w XIX wieku. Problem ustalenia związków między nimi rozwiązał w 1872 roku Felix Klein w Programie erlangeńskim, przyjmując za podstawę pojęcie grupy przekształceń. Trzecim źródłem pojęcia grupy jest teoria liczb. Carl Friedrich Gauss w swojej pracy Disquisitiones Arithmeticae („Rozważania arytmetyczne”) zajmuje się arytmetyką modularną, czyli pierścieniami ilorazowymi pierścienia liczb całkowitych, tzn. grupami addytywnymi i multiplikatywnymi pewnych pierścieni i ciał. Idee te nie były również obce Galois, od nazwiska którego pochodzi inna nazwa ciała skończonego, czyli „ciało Galois”. W 1884 roku Sophus Lie zaczął używać grup, dziś nazywanych grupami Liego, do rozwiązywania problemów analitycznych.

Przypisy

  1. Przykładowo, jeśli wybór chwili początkowej jest nieistotny (tzn. czas jest jednorodny), to w takiej sytuacji zachowywana jest energia; jeśli nieistotny jest wybór początku układu współrzędnych (tzn. przestrzeń jest jednorodna), to zachowane są składowe wektora pędu; jeżeli nieistotna jest orientacja osi układu współrzędnych (tzn. przestrzeń jest izotropowa), to w układzie zachowany jest moment pędu.
  2. Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive.
  3. Kargapołow, Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: 1989, s. 12.